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Kreisschnittfläche
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Geometrie
 
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anonymous 18:33 Uhr, 09.02.2006  |
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Hallo, habe ein kleines Problem: Zwei Kreise mit r=3 schneiden sich so,dass ihre äussersten Ränder jeweils den Mittelpunkt des anderen Kreises berühren.Wie groß ist dann die Schnittfläche? Kann mir da jemand behilflich sein? Gruß Katharina |
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Hallo, zunächst mal eine Frage - Hat Deine Lehrerin/Dein Lehrer die Aufgabe mit genau den Worten gestellt: "dass ihre äussersten Ränder jeweils den Mittelpunkt des anderen Kreises berühren"? Was bitte soll der äußerste Rand sein? Der Rand ist außen und er ist eine Punktmenge und alle Punkte dieser Menge liegen im selben Abstand zum Mittelpunkt. Da ist keiner der Punkte "äußerer" als die anderen. Und was heißt einen Punkt berühren? Entweder dieser Punkt liegt auf dem Rand (oder anders herum gesagt, der Rand geht durch den Punkt) oder der Punkt liegt (weit) daneben, da es unendlich viele Punkte zwischen Rand und vorgegebenem Punkt gibt. Lehrerinnen/Lehrer, die Aufgaben so formulieren, müssen sich nicht wundern, wenn Schülerinnen und Schüler bei ihnen nichts lernen! Doch nun zur Lösung der Aufgabe: Festlegung: Wenn im folgenden ein Punkt mit einem Buchstaben und einer Zahl bezeichnet ist, so ist die Zahl ein Index. Ich spare mir hier den Formeleditor und den sonst üblichen Gebrauch von "_" zwischen Variabler und Index. Zunächst sollte man sich eine Skizze machen mit zwei Kreisen (Skizze heißt nicht maßstabsgerecht, wir sind hier nicht in Geometrie, je größer desto übersichtlicher wenn man dann anfängt die benötigten Dinge einzuzeichnen!). Diese Kreise schneiden sich so, daß die Mittelpunkte auf dem jeweils anderen Kreis liegen. Den einen Mittelpunkt nennen wir M1, den anderen M2. Die Schnittpunkte der Kreise nennen wir S1 und S2 (welcher wie heißt ist egal, die ganze Sache ist ja symmetrisch). Jetzt zeichnet man sich noch die Strecken M1S1, M1S2, M2S1, M2S2, M1M2 ein und die Strecke S1S2 zeichnen wir gestrichelt ein. Den Schnittpunkt von M1M2 und S1S2 nennen wir M. Damit sind wir vorläufig fertig mit der Skizze, d.h. sie wird später noch ergänzt. Was sieht man auf der Skizze? In der Mitte sind zwei Dreiecke M1M2S1 und M1M2S2. Die Länge der Seiten dieser Dreiecke ist jeweils 3 (der Radius der Kreise). Deshalb schreiben wir diese 3 an jede der Geraden. Man sieht, daß die beiden Dreiecke gleichseitige Dreiecke sind, d.h. die Winkel bei M1 und M2 (es sind jeweils 2, also insgesamt 4) sind alle 60° (180°/3) groß. Diese Winkel zeichnen wir jetzt auch noch mit ein! Was sieht man noch? Zwei Kreisausschnitte, die von S1 nach S2 gehen, einmal mit dem Mittelpunkt M1 und einmal mit dem Mittelpunkt M2. Beide Kreissegmente haben den Zentriwinkel 2*60°=120°. Die Fläche eines solchen Kreisausschnitts berechnet sich als alpha/360°*pi*r^2, wobei alpha der Zentriwinkel ist. In unserem Fall ist der Kreisausschnitt also 120°/360°*pi*r^2=1/3*pi*3^2=3*pi groß. Jetzt sieht man, daß man nun von der Fläche eines Kreisausschnitts, die Fläche des Dreiecks M1S1S2 bzw. M2S1S2 abziehen muß, um die Fläche des Kreisabschnitts zu erhalten. Wegen der Symmetrie ist aber die Fläche von M1S1M gleich der Fläche von M1S2M, gleich der Fläche von M2S1M, gleich der Fläche von M2S2M. Also ist die Fläche von M1S1S2 gleich der Fläche von M1S1M plus der Fläche von M1S2M und damit gleich der Fläche von M1S1M plus M2S1M und damit gleich der Fläche von M1M2S1. Analog zeigt man, daß die Fläche von M2S1S2 gleich der Fläche von M1M2S1 ist. Die Dreiecksfläche berechnet sich als 1/2*Grundseite*Höhe. Nehmen wir als Grundseite M1M2, dann ist die Höhe gleich MS1 und das ist wiederum M1S1*sin60°=3*1/2*sqrt(3)=3/2*sqrt(3). Als Fläche des Dreiecks M1M2S1 erhalten wir also: 1/2*M1M2*MS1=1/2*3*(3/2*sqrt(3))=9/4*sqrt(3) Als Fläche des Kreisabschnitts erhalten wir also: 3*pi*-9/4*sqrt(3) Diesen Kreisausschnitt brauchen wir aber 2 mal, also ist die gesuchte Fläche: 2*(3*pi-9/4*sqrt(3))=6*pi-9/2*sqrt(3)=11,055327287478811609902351762901 |
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