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Kreisteilungspolynome, Einheitswurzel

Universität / Fachhochschule

Körper

Polynome

Tags: Einheitswurzel, Körper, Kreisteilungspolynom, polynom

Lyla93 aktiv_icon

09:32 Uhr, 02.09.2017

Hallo :-)
Kann mir jemand anschaulich erklären, worum es sich bei Kreisteilungspolynomen handelt? Ich habe gelesen dass man sie zur Untersuchung der Unterteilung vom Einheitskreis in gleiche Teile nutzt. Das wars aber auch schon, dann kamen überall nur noch mathematische Formeln,... Ich weiß wie man sie berechnet, dass die irreduzibel sind, den Grad, kenne die Nullstellen...

Aber jetzt z.B. konkret die Frage: Wofür benutze ich sie in der Algebra? Oder noch wichtiger: Wie sieht z.B.

Φ_{8} = x^{4} + 1

grapisch aus? Dazu habe ich keine Antworten. Gerade in Verbindung mit dem Einheitskreis würde ich mich über ein paar Details freuen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung
Raummessung

ledum aktiv_icon

15:01 Uhr, 02.09.2017

Hallo
was meinst du wie sieht

f (z) = z^{4} + 1

aus?
du kannst

z

B

sagen

f

bildet die viertel Einheitskreis im 3. Quadranten auf den Einheitskreis um

z = 1

ab.
die Nullstellen der Funktion liegen auf dem Einheitskreis bei

\frac{π}{4}

und

\frac{π}{4} + k \cdot \frac{π}{2} k = 1,2,3

interessanter ist

z

B, P h I_{5} = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1

das

x^{5} \cdot 1

teilt. du kennst die 4 Nullstellen des Polynoms als Nullstellen von

x^{5} + 1 = 0

was man leicht mit

x^{5} = e^{- i π + k \cdot 2 i \cdot π}

lösen kann. entsprechend für die anderen

Φ

. du kennst also Lösungen von ganzzahligen Polynomen, weil sie Teiler von

x^{n} + 1

sind.
Gruß ledum

Lyla93 aktiv_icon

16:57 Uhr, 02.09.2017

"Du kannst z.B. sagen, f bildet die viertel Einheitskreis im 3. Quadranten auf den Einheitskreis um

z = 1

ab. Die Nullstellen leigen auf dem Einheitskreis bei

P I / 4

und

P i / 4 + k * P I / 2 * k = 1, 2, 3

"

Woher weiß ich das denn alles??? Ich sehe da einfach die Verbindung zum Einheitskreis nicht!

ledum aktiv_icon

18:37 Uhr, 02.09.2017

Hallo
du schreibst immer

x,

üblicherweise nennt man komplexe Zahlen- um die geht es hier. als

z

. mit

z = a + i \cdot b = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \cdot e^{i φ}

φ

der Winkel zur positiven reellen Achse
alle Punkte der Form

z = 1 \cdot e^{i φ}

liegen auf dem Einheitskreis.mit

φ \in [0,2 π]

du hast also

- 1 = e^{i \cdot π}

ausserdem noch

- 1 = e^{i π + i \cdot k \cdot 2 π} k \in ℤ

jetzt kannst du beliebige Wurzeln aus

- 1

ziehen, die

n

te Wurzel aus

- 1

hat dabei

n

verschiedene Werte,
also

x^{n} = - 1

die

n

verschiedenen Lösungen

e^{\frac{i π + i \cdot k \cdot 2 π}{n}}

mit

k = 0,1,2 ... . n - 1))

x^{5} = - 1

hat also 5 Lösungen

Φ_{5} = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1

noch 4 Lösungen von den 5
war das die Frage?
Gruß ledum

HilbertRaum aktiv_icon

11:23 Uhr, 03.09.2017

"Kann mir jemand anschaulich erklären, worum es sich bei Kreisteilungspolynomen handelt?"

Anschaulich ist so eine Sache. Man könnte sich evtl. vorstellen, ein regelmäßiges n-Eck mit Zirkel und Lineal zu zeichnen. Das ist nicht immer möglich. Aber: es ist möglich, wenn

φ (n)

(also die Euler-Funktion) eine Potenz von 2 ist.

Grundsätzlich betrachtest du eine Gleichung der Form

z^{n} - 1 = 0

.
Ihre Lösungen sind:

z = \cos \frac{2 π k}{n} + i \sin \frac{2 π k}{n} = e^{i \frac{2 π k}{n}}

mit k=0,...,n-1.
Der Bogen

\frac{2 π}{n}

unterteilt also den Einheitskreis (Umfang

2 π

) in n gleiche Teilbögen. Am Ende jedes Teilbogens liegt demzufolge eine sogenannte Einheitswurzel

ε_{k} = e^{i \frac{2 π k}{n}}

.

Nun sieht man, dass nicht jedes k das n teilt. Wenn ggt(k,n)=1 (also z.B. n=6 und k=5), dann heisst die Einheitswurzel "primitive n-te Einheitswurzel (EW).

Jetzt das Erstaunliche: Es gibt genau

φ (n)

verschiedene primitive Einheitswurzeln.

Nun haben wir uns bis zum Kreisteilungspolynom vorgearbeitet, welches da lautet:

Φ_{n} (x) = (x - ε_{1}) . . . (x - ε_{φ (n)})

mit

ε

prim. EW.

Nun betrachten wir einen Primkörper (Erinnerung: isomorph zu

ℚ

oder

ℤ_{p}

), also nehmen wir

ℚ

Φ

ist irreduzibel über

ℚ

, aber: im Erweiterungskörper

ℚ (ε)

zerfällt

Φ

ℚ (ε)

ist der kleinste Körper, der alle n-ten EWs enthält.

Wieder anschaulich: Dort hast du gute Changen "exakt" rechnen zu können.

Was soll denn

Φ_{8} = x^{4} + 1

sein? Soll das das Kreisteilungspolynom :

Φ_{8} (x) = (x - e^{\frac{i 2 π}{8}}) (x - e^{\frac{i 2 π 3}{8}}) (x - e^{\frac{i 2 π 5}{8}}) (x - e^{\frac{i 2 π 7}{8}})

sein?

ledum aktiv_icon

12:00 Uhr, 03.09.2017

Hallo Hilbertraum
ein kleiner Fehler:

i . A

. gilt nicht, dass das Kreisteilungspolynom Produkt aus allen Nullstellen ist, sondern
Unter dem n-ten Kreisteilungspolynom

Φ_{n}

versteht man dasjenige ganzzahlige Polynom größten Grades mit Leitkoeffizient

1,

das

x^{n} - 1

teilt.
Gruß ledum

HilbertRaum aktiv_icon

12:47 Uhr, 03.09.2017

Hallo ledum, stimmt!
Ich hatte in der Def. daher auch nur die prim. EW betrachtet (hast du vielleicht übersehen). Für n=8 wären das grad

e^{\frac{i π k}{4}}

mit k=1,3,5,7 - das sind also nicht alle Nullst.

Lyla93 aktiv_icon

16:15 Uhr, 03.09.2017

Okay danke! Das hat mir auf jeden Fall schon mal geholfen!!

Noch eine Frage die ich mir so stelle: Wenn z.B. das 8-te Kreisteilungspolynom den Einheitskreis in 8 gleiche Teilbögen teilt, dann haben wir ja immer 360:8=45° "Stückchen". Hat das auch etwas zu bedeuten? Also kann ich dann graphisch dazu noch was sagen?
Wenn ich jetzt nämlich z.B. gefragt werde: Wie sieht das 8. Kreisteilungspolynom graphisch aus, bzw. beschreibe das graphisch... Was kann ich da antworten? Ich weiß ja jetzt, dass es den Bogen des Einheitskreises in 8 gleiche Teilbögen unterteilt. Am Ende liegt dann immer eine Einheitswurzel.

ledum aktiv_icon

16:43 Uhr, 03.09.2017

Hallo
so wie du es ausdrückst ist es falsch.
"Wenn

z . B

. das 8-te Kreisteilungspolynom den Einheitskreis in 8 gleiche Teilbögen teilt" ist das einfach falsch
die Nullstellen der Kreisteilungspolynome ergeben Punkte auf dem Einheitskreis . die von

Φ_{5}

was nicht

z^{5} + 1

ist sondern

z^{4} + z^{3} + ...

. 4 Punkte auf dem Einheitskreis, im Abstand von 72° oder

2 \frac{π}{5}

. Das ist aber natürlich nicht die graphische Darstellung des Polynoms. Im reellen würdest du ja auch nicht sagen, die graphische Darstellung der Funktion

f (x) = x^{2} - 1

sind die 2 Stellen

- 1

und

+ 1

auf der x-Achse.
direkte graphische Darstellungen von komplexen Funktionen sind nicht so einfach. man kann den Realteil platten, den Imaginärteil öde den Betrag, oder darstellen, wie ein rechteckiges oder polares Gitter durch die Abbildung "verzerrt" wird.
also musst du, wenn die Frage auftaucht schon genauer nachfragen, was gemeint ist.
Kurz du kannst nur was über die Nullstellen sagen.
das besondere an den Kreisteilungspol. ist doch, dass

z . B

man nicht nur die Nullstellen von

z^{5} - 1

kennt, sondern eben auch die des Polynoms 4 ten Grade oder später noch höheren Grades, die man sonst nicht berechnen könnte.
dabei sind die Lösungen von

z^{n} - 1

selbst nichts besonderes, sondern eben nur die leicht zu berechnenden

n

Wurzeln aus

- 1 = e^{i π}

Gruß ledum

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