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Kreuzprodukt bei orthogonalen Vekoren

Schüler Gymnasium,

Tags: Kreuzprodukt, orthogonal, Vektor

HeinrichH aktiv_icon

15:08 Uhr, 14.12.2016

Gegeben seien zwei zueinander orthogonale Vektoren

b, c

∈ R3\

{

0}. Finde mit Hilfe des Kreuzprodukts einen zu

b

senkrechten Vektor a ∈

R 3

mit
a ×

b = c

.

Die Aufgabe klingt nicht so schwierig, aber ich schaffe es einfach nicht mir das richtig vorzustellen. Ich kenne alle Regeln was Vektoren und Kreuzprodukt angeht, trotzdem komm ich mir gerade bisschen blöd vor. Könnt ihr mir bitte helfen?
Ich weiß schonmal dass man nicht einfach sagen

b x c = a

weil wir nicht wissen (können) welches der "erste Vektor" ist. Daher gilt ja

b x c

≠

c x b

Muss man irgendwie anhand der Länge von a und dem Normalvektor machen?

Ich hoffe auf eine schnelle Antwort! Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt
Vektorprodukt

Edddi aktiv_icon

15:20 Uhr, 14.12.2016

das Kreuzprodukt von

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ist definiert als:

(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

Damit muss unter Voraussetzung, dass

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}

(\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix})

Der Übersichtlichkeithalber kannst du nun

a_{1} = x, a_{2} = y

und

a_{3} = z

setzen:

(\begin{matrix} b_{3} y - b_{2} z \\ b_{1} z - b_{3} x \\ b_{2} x - b_{1} y \end{matrix}) = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix})

Man erhält also das zu lösende GLS:

b_{3} y - b_{2} z = c_{1}

b_{1} z - b_{3} x = c_{2}

b_{2} x - b_{1} y = c_{3}

. .

. dies ist sehr schnell aufzulösen und erhälst dann

(\begin{matrix} x \\ x \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) = \vec{a}

Edddi aktiv_icon

18:58 Uhr, 14.12.2016

. .

. wenn

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c},

dann bilden diese ein Rechtssystem.

Dann zeigt

\vec{b} \times \vec{c}

in Richtung

\vec{a}

Normiert man nun

\vec{b} \times \vec{c} \Rightarrow \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{| \vec{b} \times \vec{c} |}

erhält man den Normalenvekor in Richtung

a

.

Weiter gilt ja bei

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}

\vec{a} \times \vec{b} = (| \vec{a} | | \vec{b} | sin (φ)) \cdot \vec{n} = \vec{c}

Somit hat

\vec{c}

die Länge

(| \vec{a} | | \vec{b} | sin (φ)) = | \vec{a} | | \vec{b} |

da ja

φ = \frac{π}{2}

Es muss also

| \vec{a} | | \vec{b} | = | \vec{c} |

und somit

| \vec{a} | = \frac{| \vec{c} |}{| \vec{b} |}

Damit sollte dann

\vec{a} = \frac{| \vec{c} |}{| \vec{b} |} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{| \vec{b} \times \vec{c} |}

\vec{a} = \frac{| \vec{c} |}{| \vec{b} | \cdot | \vec{b} \times \vec{c} |} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})

. .

. meinst du sowas?

;-)

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