Kreuzprodukt in Zylinder koordinaten

Hallo, aufgabe lautet:

Betrachten Sie eine Flüssigkeit in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ${\displaystyle \mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ rotierenden Zylinder.
(a) Wie lautet die Geschwindigkeitsverteilung ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ der Strömung in Zylinderkoordinaten?

${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\times \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\right)=\begin{array}{c}-\mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}}$ logisch jetzt in zylinderkoordinaten

= ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-\mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\Theta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ \mathrm{\Omega <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\Theta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}\right)}$ok alles klar, ich dachte ich wäre fertig, ist aber nicht so. nächsten schritt verstehe ich nciht

${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\Theta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\Theta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ {-\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\Theta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\Theta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\\ 0\end{array}\right)}$ wie komme ich darauf???

danke im vorraus