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Hallo! Den Beweis des folgenden Satzes kann ich nicht nachvollziehen und benötige daher Hilfe.
Sei eine Menge und ein Ring über mit und ein endlicher Inhalt. Es existiere eine kompakte Klasse über , so dass für alle und ein und ein mit und existieren.
Behauptung: Dann ist ein Prämaß.
Beweis:
Sei eine absteigende Folge mit und .
Wähle für entsprechend und so, dass und .
Da , existiert , so dass und somit auch . Dann ist .
Diesen Beweis verstehe ich nicht, da die Aussage des Beweises zeigen muss (den Satz, auf den sich die Aussage bezieht, werde ich unten nochmals als Bild ohne Beweis anfügen, da ich keine Rechte zur Veröffentlichung habe). Nach meinem Verständnis zeigt der Beweis nur und . Die Aussage des Beweises beinhaltet sogar . Mir ist das unverständlich. Wo liegt mein Denkfehler?
Für jede Hilfe bin ich natürlich wie immer sehr dankbar!
Beste Grüße
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Da einigen Besuchern dieses Threads wahrscheinlich entfallen sein könnte, was genau unter 'kompakten Klassen' zu verstehen ist, werde ich eine zugegebenermaßen recht grobe und undetaillierte Definition angeben, die allerdings zum Verständnis o. g. Beweisführung vollkommen ausreichend ist.
Definition kompakter Klassen:
Sei eine Menge. Ein Mengensystem heißt 'kompakte Klasse', falls für abzählbar viele mit bereits endlich viele Mengen mit existieren.
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Aus folgt auch bereits für Inhalte .
Nun wurde oben gezeigt, dass es für JEDES ein gibt (welches von abhängen mag) mit und daher auch für alle . Da andererseits 0 eine untere Schranke für die Folge ist, bedeutet das direkt die Konvergenz gegen 0.
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Hallo HAL9000!
Erstmal vielen lieben Dank für Deine Antwort!
Deine Ausführungen kann ich allerdings noch nicht ganz nachvollziehen, da nunmal nur und eben nicht bewiesen wurde. Der Unterschied zwischen '' und '' ist nach meinem Verständnis in diesem Fall eklatant. Aus folgt unmittelbar , während direkt beweist, dass nicht widerlegt werden kann. Der Beweis widerspricht in meinen Augen der Behauptung, da er genau nicht beweist, was bewiesen werden soll. Der Unterschied zwischen'' und '' ist aus meiner Sicht elementar ... und genau da liegt mein Verständnisproblem: Ist dieser Beweis in der angegebenen Form korrekt oder nicht?
Für jede Antwort und Hilfe bin ich natürlich immer noch sehr dankbar!
Beste Grüße
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Ehrlich gesagt verstehe ich deine Einwände nicht. Gehen wir einfach zurück zur -Definition des Grenzwertes, dann fallen dir (hoffentlich) endlich die Schuppen von den Augen:
Die Folge konvergiert genau dann gegen Grenzwert , wenn es für alle einen (durchaus von abhängigen) Index derart gibt, dass für alle gibt.
Und genau diese Situation haben wir doch hier!!! Und zwar mit sowie . Ich weiß wirklich nicht, wie ich es noch deutlicher kenntlich machen soll. :(
> Der Unterschied zwischen '<' und '' ist nach meinem Verständnis in diesem Fall eklatant.
Unsinn, der bedeutet hier rein gar nichts: Wenn man sich daran stört, dann nutzt man die Konstruktion mit Hilfsvariable statt selbst. Wenn man dann hat, dann folgt daraus auch . Da siehst du also Probleme, die mit einer winzigen Zusatzüberlegung komplett verfliegen.
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Hallo HAL9000! Vielen Dank für Deine Antwort!
Leider kann ich es immer noch nicht völlig nachvollziehen, da Deine Formulierung doch immer die Aussage zulässt, . Der Beweis des Satzes müsste doch aber eigentlich die Möglichkeit einer Existenz von für hinreichend kleine ausschließen.
Ich will versuchen mein Verständnisproblem an einem anderen Beispiel zu verdeutlichen:
Seien und entsprechende Mengen in . Dann folgt doch, und . Wären die Aussagen so richtig oder habe ich irgendwo einen graviernden Denkfehler? Reite ich hier penetrant nur sinnlos auf irgendwelchen Formalien rum oder sind meine Verständnisprobleme halbwegs nachvollziehbar?
Immer noch dankbar für jede Hilfe!
Beste Grüße
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Tut mir leid, da du die -Definition des Grenzwertes nicht anerkennst, haben wir beide hier und jetzt fertig. Sprich: Meine Geduld ist am Ende.
Ich wünsch dir trotzdem viel Glück auf der Suche nach jemanden, der bereit ist deinen ellenlangen Beitrag mit vielen falschen Argumenten zu analysieren.
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tobit
11:50 Uhr, 24.09.2022
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Hallo zusammen,
ich versuche mal mein Glück. :-)
Es scheint hier ein Verständnisproblem mit dem Begriff der Konvergenz einer Folge vorzuliegen.
Definition: Sei eine Folge reeller Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Dann sagen wir, konvergiere gegen , wenn für jedes ein existiert mit für alle mit .
Lemma: Sei eine Folge reeller Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Für jedes existiere ein mit für alle mit . Dann konvergiert gegen .
Beweis: Sei beliebig vorgegeben. Nach Definition der Konvergenz von müssen wir ein finden mit für alle mit (wenn dies gelungen ist, sind wir fertig!). Nach Voraussetzung des Lemmas angewandt auf existiert ein mit für alle mit . Für alle solchen haben wir somit , also wie gewünscht .
Beispiel: Die Folge konvergiert gegen 0. Ich möchte das jetzt nicht nachweisen, sondern nur ein Beispiel dazu diskutieren. Für und gilt: für alle mit . Das heißt NICHT, dass die Folge gegen konvergiert.
"Leider kann ich es immer noch nicht völlig nachvollziehen, da Deine Formulierung doch immer die Aussage zulässt, ∀ε∃ε′:=ε2:limn0→∞μ(An0)=ε′>0. Der Beweis des Satzes müsste doch aber eigentlich die Möglichkeit einer Existenz von ε′ für hinreichend kleine ε ausschließen."
Wie kommst du auf ? HAL9000 hat mit argumentiert (ohne im Term auf der linken Seite!).
Das ist doch kein ungewöhnliches Phänomen: Die Folgenglieder sind möglicherweise , der Grenzwert dennoch , wie dies auch im Beispiel der Folge der Fall ist.
"Seien E:={[0,εj)⊂R∣εj>0∀j∈J} und E˜:={[0,εj]⊂R∣εj>0∀j∈J} entsprechende Mengen in R. Dann folgt doch, ⋂j∈J[0,εj)=0 und ⋂j∈J[0,εj]=[0,minj∈J(εj)]."
Leider kann ich nicht nachvollziehen, was du hier mit und für meinst. Ich weiß nicht, ob du das meinst, aber es gilt z.B. und . Falls eine endliche Menge ist und für jedes eine reelle Zahl gegeben ist, gilt und . Der Zusammenhang dieser Überlegungen zu dem eigentlichen Problem erschließt sich mir aber nicht ganz.
Viele Grüße Tobias
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Hallo tobit,
Vielen lieben Dank für Deine ausführliche Antwort!
Ich werde mir nochmals den gesamten Thread genauer anschauen und aufgrund der vielen angeführten Argumente meine Verständnisprobleme ausräumen können.
@tobit, @HAL9000 Vielen Dank für die teils sehr detaillierten Antworten und die umfangreiche Hilfe! Ich wünsche ein schönes und erholsames Wochenende!
@HAL9000 Es tut mir natürlich sehr leid, dass ich Dich bis an die Geduldsgrenze gereizt habe! Das war natürlich nicht meine Absicht!
Alles Gute und beste Grüße
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Hallo tobit,
Vielen lieben Dank für Deine ausführliche Antwort!
Ich werde mir nochmals den gesamten Thread genauer anschauen und aufgrund der vielen angeführten Argumente meine Verständnisprobleme ausräumen können.
@tobit, @HAL9000 Vielen Dank für die teils sehr detaillierten Antworten und die umfangreiche Hilfe! Ich wünsche ein schönes und erholsames Wochenende!
@HAL9000 Es tut mir natürlich sehr leid, dass ich Dich bis an die Geduldsgrenze gereizt habe! Das war natürlich nicht meine Absicht!
Alles Gute und beste Grüße
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