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Kriterium: Inhalte sind Prämaße

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Tags: Maßtheorie, Ring

 
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SonyPB

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22:15 Uhr, 21.09.2022

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Hallo! Den Beweis des folgenden Satzes kann ich nicht nachvollziehen und benötige daher Hilfe.

Sei X eine Menge und ein Ring über X mit P(X) und μ:[0,] ein endlicher Inhalt. Es existiere eine kompakte Klasse K~P(X) über X, so dass für alle ε>0 und A ein KK~ und ein B mit BKA und μ(AB)ε existieren.

Behauptung:
Dann ist μ ein Prämaß.

Beweis:

Sei (An)n eine absteigende Folge mit AnAn+1 und nAn=.

Wähle für An entsprechend KnK~ und Bn so, dass BnKnAn und μ(AB)ε2-n.

nKn=

Da KnK~, existiert n0, so dass k=1n0Kk= und somit auch k=1n0Bk=.
Dann ist μ(An0)=μ(k=1n0Bk)+μ(An0k=1n0Bk)=μ(k=1n0An0Bk)μ(k=1n0AkBk)k=1n0(AkBk)εk=1n02-kε.


Diesen Beweis verstehe ich nicht, da die Aussage des Beweises zeigen muss limnμ(An)=0 (den Satz, auf den sich die Aussage bezieht, werde ich unten nochmals als Bild ohne Beweis anfügen, da ich keine Rechte zur Veröffentlichung habe). Nach meinem Verständnis zeigt der Beweis nur limnμ(An)ε>0 und limn0k=1n0(AkBk)=ε<limkμ(AkBk)=0. Die Aussage des Beweises beinhaltet sogar limnμ(An)=ε>0. Mir ist das unverständlich.

Wo liegt mein Denkfehler?

Für jede Hilfe bin ich natürlich wie immer sehr dankbar!

Beste Grüße






Screenshot_20220921

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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SonyPB

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03:14 Uhr, 22.09.2022

Antworten
Da einigen Besuchern dieses Threads wahrscheinlich entfallen sein könnte, was genau unter 'kompakten Klassen' zu verstehen ist, werde ich eine zugegebenermaßen recht grobe und undetaillierte Definition angeben, die allerdings zum Verständnis o. g. Beweisführung vollkommen ausreichend ist.


Definition kompakter Klassen:

Sei X eine Menge.
Ein Mengensystem K~P(X) heißt 'kompakte Klasse', falls für abzählbar viele K1,K2,...K~ mit nKn= bereits endlich viele Mengen Ks1,...,Ksr mit j=1rKsj= existieren.
Antwort
HAL9000

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08:43 Uhr, 22.09.2022

Antworten
Aus AnAn+1 folgt μ(An)μ(An+1) auch bereits für Inhalte μ.

Nun wurde oben gezeigt, dass es für JEDES ε>0 ein n0 gibt (welches von ε abhängen mag) mit μ(An0)<ε und daher auch μ(An)<ε für alle nn0. Da andererseits 0 eine untere Schranke für die Folge (μ(An))n=1,2, ist, bedeutet das direkt die Konvergenz gegen 0.

SonyPB

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11:06 Uhr, 22.09.2022

Antworten
Hallo HAL9000!

Erstmal vielen lieben Dank für Deine Antwort!

Deine Ausführungen kann ich allerdings noch nicht ganz nachvollziehen, da nunmal nur μ(An0)ε>0 und eben nicht μ(An0)<εε>0 bewiesen wurde. Der Unterschied zwischen '<' und '' ist nach meinem Verständnis in diesem Fall eklatant. Aus μ(An0)<εε>0 folgt unmittelbar limn0μ(An0)=0, während μ(An0)ε>0 direkt beweist, dass limn0μ(An0)=ε>0 nicht widerlegt werden kann. Der Beweis widerspricht in meinen Augen der Behauptung, da er genau nicht beweist, was bewiesen werden soll. Der Unterschied zwischen'<' und '' ist aus meiner Sicht elementar ... und genau da liegt mein Verständnisproblem: Ist dieser Beweis in der angegebenen Form korrekt oder nicht?


Für jede Antwort und Hilfe bin ich natürlich immer noch sehr dankbar!


Beste Grüße
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

16:41 Uhr, 22.09.2022

Antworten
Ehrlich gesagt verstehe ich deine Einwände nicht. Gehen wir einfach zurück zur ε-Definition des Grenzwertes, dann fallen dir (hoffentlich) endlich die Schuppen von den Augen:

Die Folge (an)n=1,2, konvergiert genau dann gegen Grenzwert a, wenn es für alle ε>0 einen (durchaus von ε abhängigen) Index n0 derart gibt, dass an-a<ε für alle nn0 gibt.

Und genau diese Situation haben wir doch hier!!! Und zwar mit an=μ(An) sowie a=0. Ich weiß wirklich nicht, wie ich es noch deutlicher kenntlich machen soll. :(


> Der Unterschied zwischen '<' und '' ist nach meinem Verständnis in diesem Fall eklatant.

Unsinn, der bedeutet hier rein gar nichts: Wenn man sich daran stört, dann nutzt man die Konstruktion mit Hilfsvariable εʹ:=ε2 statt ε selbst. Wenn man dann μ(An0)εʹ hat, dann folgt daraus auch μ(An0)<ε . Da siehst du also Probleme, die mit einer winzigen Zusatzüberlegung komplett verfliegen.

SonyPB

SonyPB aktiv_icon

17:44 Uhr, 22.09.2022

Antworten
Hallo HAL9000!
Vielen Dank für Deine Antwort!

Leider kann ich es immer noch nicht völlig nachvollziehen, da Deine Formulierung doch immer die Aussage zulässt, εεʹ:=ε2:limn0μ(An0)=εʹ>0. Der Beweis des Satzes müsste doch aber eigentlich die Möglichkeit einer Existenz von εʹ für hinreichend kleine ε ausschließen.

Ich will versuchen mein Verständnisproblem an einem anderen Beispiel zu verdeutlichen:

Seien E:={[0,εj)εj>0jJ} und E~:={[0,εj]εj>0jJ} entsprechende Mengen in .
Dann folgt doch, jJ[0,εj)=0 und jJ[0,εj]=[0,minjJ(εj)].
Wären die Aussagen so richtig oder habe ich irgendwo einen graviernden Denkfehler? Reite ich hier penetrant nur sinnlos auf irgendwelchen Formalien rum oder sind meine Verständnisprobleme halbwegs nachvollziehbar?

Immer noch dankbar für jede Hilfe!

Beste Grüße
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

17:48 Uhr, 22.09.2022

Antworten
Tut mir leid, da du die ε-Definition des Grenzwertes nicht anerkennst, haben wir beide hier und jetzt fertig. Sprich: Meine Geduld ist am Ende.

Ich wünsch dir trotzdem viel Glück auf der Suche nach jemanden, der bereit ist deinen ellenlangen Beitrag mit vielen falschen Argumenten zu analysieren.
Antwort
tobit

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11:50 Uhr, 24.09.2022

Antworten
Hallo zusammen,

ich versuche mal mein Glück. :-)

Es scheint hier ein Verständnisproblem mit dem Begriff der Konvergenz einer Folge vorzuliegen.


Definition: Sei (an)n eine Folge reeller Zahlen und a eine weitere reelle Zahl. Dann sagen wir, (an)n konvergiere gegen a, wenn für jedes ɛ>0 ein n0 existiert mit an-a<ɛ für alle n mit nn0.

Lemma: Sei (an)n eine Folge reeller Zahlen und a eine weitere reelle Zahl. Für jedes ɛ>0 existiere ein n0 mit an-aɛ für alle n mit nn0. Dann konvergiert (an)n gegen a.

Beweis: Sei ɛ>0 beliebig vorgegeben. Nach Definition der Konvergenz von (an)n müssen wir ein n0 finden mit an-a<ɛ für alle n mit nn0 (wenn dies gelungen ist, sind wir fertig!). Nach Voraussetzung des Lemmas angewandt auf ɛʹ:=ɛ2>0 existiert ein n0 mit an-aɛʹ für alle n mit nn0. Für alle solchen n haben wir somit an-aɛʹ=ɛ2<ɛ, also wie gewünscht an-a<ɛ.

Beispiel: Die Folge (1n)n konvergiert gegen 0. Ich möchte das jetzt nicht nachweisen, sondern nur ein Beispiel dazu diskutieren. Für ɛ:=11.000.000 und n0:=1.000.000 gilt: 1n-0ɛ für alle n mit nn0. Das heißt NICHT, dass die Folge (1n)n gegen ɛ konvergiert.


"Leider kann ich es immer noch nicht völlig nachvollziehen, da Deine Formulierung doch immer die Aussage zulässt, ∀ε∃ε′:=ε2:limn0→∞μ(An0)=ε′>0. Der Beweis des Satzes müsste doch aber eigentlich die Möglichkeit einer Existenz von ε′ für hinreichend kleine ε ausschließen."

Wie kommst du auf limn0μ(An0)=ɛʹ? HAL9000 hat mit μ(An0)ɛʹ argumentiert (ohne lim im Term auf der linken Seite!).

Das ist doch kein ungewöhnliches Phänomen: Die Folgenglieder sind möglicherweise >0, der Grenzwert dennoch =0, wie dies auch im Beispiel der Folge (1n)n der Fall ist.


"Seien E:={[0,εj)⊂R∣εj>0∀j∈J} und E˜:={[0,εj]⊂R∣εj>0∀j∈J} entsprechende Mengen in R.
Dann folgt doch, ⋂j∈J[0,εj)=0 und ⋂j∈J[0,εj]=[0,minj∈J(εj)]."

Leider kann ich nicht nachvollziehen, was du hier mit J und εj für jJ meinst. Ich weiß nicht, ob du das meinst, aber es gilt z.B. ɛ>0[0,ɛ)={0} und ɛ>0[0,ɛ]={0}. Falls J eine endliche Menge ist und für jedes jJ eine reelle Zahl ɛj>0 gegeben ist, gilt jJ[0,ɛj)=[0,minjJɛj) und jJ[0,ɛj]=[0,minjJɛj]. Der Zusammenhang dieser Überlegungen zu dem eigentlichen Problem erschließt sich mir aber nicht ganz.


Viele Grüße
Tobias
Frage beantwortet
SonyPB

SonyPB aktiv_icon

12:58 Uhr, 24.09.2022

Antworten
Hallo tobit,

Vielen lieben Dank für Deine ausführliche Antwort!

Ich werde mir nochmals den gesamten Thread genauer anschauen und aufgrund der vielen angeführten Argumente meine Verständnisprobleme ausräumen können.

@tobit, @HAL9000
Vielen Dank für die teils sehr detaillierten Antworten und die umfangreiche Hilfe! Ich wünsche ein schönes und erholsames Wochenende!


@HAL9000
Es tut mir natürlich sehr leid, dass ich Dich bis an die Geduldsgrenze gereizt habe! Das war natürlich nicht meine Absicht!


Alles Gute und beste Grüße
Frage beantwortet
SonyPB

SonyPB aktiv_icon

12:58 Uhr, 24.09.2022

Antworten
Hallo tobit,

Vielen lieben Dank für Deine ausführliche Antwort!

Ich werde mir nochmals den gesamten Thread genauer anschauen und aufgrund der vielen angeführten Argumente meine Verständnisprobleme ausräumen können.

@tobit, @HAL9000
Vielen Dank für die teils sehr detaillierten Antworten und die umfangreiche Hilfe! Ich wünsche ein schönes und erholsames Wochenende!


@HAL9000
Es tut mir natürlich sehr leid, dass ich Dich bis an die Geduldsgrenze gereizt habe! Das war natürlich nicht meine Absicht!


Alles Gute und beste Grüße