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Kritische Punkte berechnen (mehrere Veränderliche)

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Tags: Differentiation, Partielle Differentialgleichungen, Sonstiges, Vektorraum

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14:30 Uhr, 12.02.2011

Hi, Ich muss zum ersten mal kritische Punkte mehrer Veränderlicher berechnen und habe Probleme auf die kritischen Punkte zu kommen. Die Aufgabe lautet:
a)Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von

g : ℝ^{3} \to ℝ,

g (x; y; z) =

6xy - 3y^2-2x^3-yz^2 entscheiden Sie, ob es sich um Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt.
b)Sei

α = ℝ

. Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von

f : ℝ^{2} \to ℝ,

f (x; y) = (1 - x - y^{2}) e^{α} (x + y)

. Für welche

α

handelt es sich um Minima, Maxima oder Sattelpunkte.

zu

a) :

g_{x} (x, y, z) = 6 y - 6 x^{2} := 0

g_{y} (x, y, z) = 6 x - 6 y - z^{2} := 0

g_{z} (x, y, z) =

2yz

:= 0

der Gradient muss der Nullvektor sein, also alle partiellen Ableitungen

= 0

.

zu

b)

f_{x} (x, y) = - e^{α x} + e^{α y} := 0

f_{y} (x, y) = e^{α x + y} - e^{α x + y} = 0

:= 0

f_{z} (x, y) = - 2 y e^{α (x + y)} := 0

Ich habe total Probleme hier abzuleiten.

ich habe versuch bei a das gleichungssystem zu lösen:

y = 2 x; z = \sqrt{6 x - 6 y};

2yz=0

\Rightarrow y = 0

=>x=0(wegen

y = 2 x);

dann müsste

z

auch 0 sein. ???das ergibt doch keinen sinn...
Ich hoffe mir kann jdn von euch weiterhelfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

16:10 Uhr, 12.02.2011

Hallo,

g_{x} (x, y, z) = 6 \cdot y

−

6 \cdot x^{2} := 0

g_{y} (x, y, z) = 6 \cdot x

−

6 \cdot y

−

z^{2} := 0

g_{z} (x, y, z) = 2 \cdot y \cdot z := 0

Das Gleichungssystem löst man

z . B

. so:

Die letzte Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn

y = 0

oder

z = 0 .

Fall

1 : y = 0

\Rightarrow (1

. Gleichung)

x = 0

\Rightarrow (2

. Gleichung)

z = 0

Fall

2 : z = 0

\Rightarrow (1

. Gleichung)

6 \cdot y = 6 \cdot x^{2}

\Rightarrow (2

. Gleichung)

6 \cdot y = 6 \cdot x

\Rightarrow (1

. Gleichung uns 2. Gleichung)

x = x^{2}

\Rightarrow (x = 1 \Rightarrow y = 1)

oder

(x = 0 \Rightarrow y = 0)

Die beiden Lösungen des Gleichungssystems sind demzufolge

(0,0,0)

und

(1,1,0)

Bei

b)

wäre es schön genau zu wissen, wie dir Funktion lautet:

f (x, y) = (1 - x - y^{2}) \cdot e^{α \cdot (x + y)};

So würde ich denken, so steht es aber nicht da!
oder

f (x, y) = (1 - x - y^{2}) \cdot e^{α} \cdot (x + y);

So würde ich nicht denken, aber so steht es da!

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16:54 Uhr, 12.02.2011

erstmal danke
das erste ist die richtige schreibweise.
hatte mich jetzt an den partiellen ableitungen versucht und folgendes raus:

f_{x} (x, y) = - e^{α (x + y)} (α (x + y^{2} - 1) + 1) := 0

f_{y} (x, y) = - e^{α (x + y)} ((x - 1) α + y^{2} α + 2 y) := 0

wie komme ich den hier auf den kritischen punkt, der muss ja von

α

abhängen...

Bummerang

20:57 Uhr, 12.02.2011

Hallo,

f (x, y) = (1 - x - y^{2}) \cdot e^{α \cdot (x + y)} = (1 - x - y^{2}) \cdot e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y}

f_{x} (x, y) = - e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y} + α \cdot (1 - x - y^{2}) \cdot e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y}

f_{x} (x, y) = - e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y} + (α - α \cdot x - α \cdot y^{2}) \cdot e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y}

f_{x} (x, y) = (α - α \cdot x - α \cdot y^{2} - 1) \cdot e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y}

f_{x} (x, y) = (α - α \cdot x - α \cdot y^{2} - 1) \cdot e^{α (x + y)}

f_{y} (x, y) = - 2 \cdot y \cdot e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y} + α \cdot (1 - x - y^{2}) \cdot e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y}

f_{y} (x, y) = - 2 \cdot y \cdot e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y} + (α - α \cdot x - α \cdot y^{2}) \cdot e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y}

f_{y} (x, y) = (α - α \cdot x - α \cdot y^{2} - 2 \cdot y) \cdot e^{α \cdot x} \cdot e^{α \cdot y}

f_{y} (x, y) = (α - α \cdot x - α \cdot y^{2} - 2 \cdot y) \cdot e^{α (x + y)}

Das entspricht Deinen Ableitungen.

0 = (α - α \cdot x - α \cdot y^{2} - 1) \cdot e^{α (x + y)}

0 = (α - α \cdot x - α \cdot y^{2} - 2 \cdot y) \cdot e^{α (x + y)}

0 = α - α \cdot x - α \cdot y^{2} - 1

0 = α - α \cdot x - α \cdot y^{2} - 2 \cdot y

\Rightarrow 1 = 2 \cdot y \Rightarrow y = \frac{1}{2}

0 = α - α \cdot x - α \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 1

0 = α - α \cdot x - α \cdot \frac{1}{4} - 1

0 = \frac{3}{4} \cdot α - α \cdot x - 1

α \cdot x = \frac{3}{4} \cdot α - 1

x = \frac{3}{4} - \frac{1}{α}

Einziger kritischer Punkt:

(\frac{3}{4} - \frac{1}{α}; \frac{1}{2})

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16:33 Uhr, 14.02.2011

Danke, das hat mir SEHR geholfen^^

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