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Krümmungsradien eines Ellipsoids

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Ellipse, Krümmungsradius

ToniG1998 aktiv_icon

18:13 Uhr, 30.12.2022

Hallo, ich stehe gerade auf dem Schlauch.

Gegeben sei eine Ellipse:

1 = \frac{r^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}}

(x

ist vertikal und

r

horizontal orientiert)

Ich benötige die beiden Krümmungsradien des Ellipsoid in Abhängigkeit von

r

.

Ich bin wie folgt vorgegangen:

r = a \cdot \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{b^{2}}}

r' = - \frac{a \cdot x}{b^{2} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{b^{2}}}}

r'' = - \frac{a}{b^{2} {(1 - \frac{x^{2}}{b^{2}})}^{\frac{3}{2}}}

Polarer Krümmungsradius:

R_{p} = r \cdot \sqrt{1 + r'^{2}}

Einsetzen der Beziehung für

r'

R_{p} = r \cdot \sqrt{1 + {(- \frac{a \cdot x}{b^{2} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{b^{2}}}})}^{2}}

Einsetzen der Beziehung

x = b \cdot \sqrt{1 - \frac{r^{2}}{a^{2}}}

ergibt:

R_{p} = r \cdot \sqrt{1 + {(- \frac{a \cdot b \cdot \sqrt{1 - \frac{r^{2}}{a^{2}}}}{b^{2} \sqrt{1 - \frac{{(b \cdot \sqrt{1 - \frac{r^{2}}{a^{2}}})}^{2}}{b^{2}}}})}^{2}}

bzw. vereinfacht

: R_{P} = r \cdot \sqrt{\frac{a^{4} \cdot (1 - \frac{r^{2}}{a^{2}})}{b^{2} \cdot r^{2}} + 1}

Für den Meridiankrümmungsradius wäre ich analog vorgegangen.
Ich bin mir unsicher, ob die Vorgehensweise okay ist. Fühlt sich falsch an...

Für mich ist es ausreichend, wenn die Ellipse nur im 1. Quadraten gegeben ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

19:30 Uhr, 30.12.2022

>

Ich benötige die beiden Krümmungsradien des Ellipsoid in Abhängigkeit von

r

.
Warum denn "Ellipsoid"? Es handelt sich ja offenbar um eine Kurve in der r-x-Ebene, also um eine Ellipse.
Und warum "die beiden" Krümmmungsradien? Es gibt für jeden Punkt der Ellipse einen Krünmmungsradius. Vermutlich meinst du die Krümmungsradien in den Scheiteln.

>

Polarer Krümmungsradius:

>

Rp=r⋅1+r'2
Was ist den der "polare" Krümmungsradius und woher stammt diese Formel?

Für den Krümmungsradius gilt doch

ρ (x) = | \frac{{(1 + r' (x))}^{\frac{3}{2}}}{r'' (x)} |

und den Scheitelkrümmungsradius bekommst du für

x = 0

mit

ρ (0) = \frac{b^{2}}{a}

und aus Symmetriegründen ist der Krümmungsradius im anderen Scheitel

(b / 0)

gleich

\frac{a^{2}}{b}

ToniG1998 aktiv_icon

19:51 Uhr, 30.12.2022

Es geht nicht nur um eine Ellipse, sondern um ein Ellipsoid, welches durch Rotatation der Ellipse, um die x-Koordinate erzeugt wird.

Aus diesem Grund existiert noch die polare Krümmung oder auch Querkrümmung.

Die Formel hab ich aus einem Werk zum Wickelverfahren von Faserverbund-Druckbehältern.

Außerdem benötige ich nicht nur die Krümmungsradien an den Scheiteln, sondern als Funktion entlang der Ellipse.

Ich bin mir nur unsicher, ob meine Herleitung dazu korrekt ist.

Roman-22

21:43 Uhr, 30.12.2022

OK, also handelt es sich um das Drehellipsoid

\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2}} = 1

mit

y^{2} + z^{2} = r^{2}

und du siehst die x-Achse als nach oben weisend an (würde man üblicherweise als z-Achse bezeichnen).

Sofern deine Ausgangsformel für die Querkrümmung richtig ist, hast du richtig gerechnet und wenn du diese nicht in Abhängigkeit von der "Höhe"

x,

sondern in Abhängigkeit von

r

benötigst, dann ist deine weitere Umformung auch korrekt.
Man könnte dein Ergebnis vl noch zu

R_{P} = \frac{1}{b} \cdot \sqrt{a^{2} \cdot (a^{2} - r^{2}) + b^{2} \cdot r^{2}}

umformen.
Es ist auch plausibel, denn am Pol

(r = 0),

wo Meridian- und Querkrümmung ja gleich sind, stellt sich tatsächlich auch

\frac{a^{2}}{b}

ein und am Äquator

(r = a)

korrekterweise der Radius a des Äquatorkreises.
Für die Meridiankrümmung wirst du dann aber wohl die von mir angegebene Krümmungsformel verwenden und wenn du sie auch in Abhängigkeit von

r

benötigst, dann besser gleich mit

x (r) = . .

. arbeiten.

ToniG1998 aktiv_icon

11:22 Uhr, 31.12.2022

Vielen Dank. Das beantwortet meine Frage.

Zur Vollständigkeit noch die Formel für die Meridiankrümmung:

R_{m} = \frac{b^{2}}{a} \cdot {(\frac{r^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2} - r^{2}}{b^{2}})}^{\frac{3}{2}}

ToniG1998 aktiv_icon

14:14 Uhr, 31.12.2022

Beantwortet.

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