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Krummlinige Koordinaten

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Tags: Gradient, Kugelkoordinaten, Vektorfeld, Zylinderkoordinaten

Chica-Rabiosa aktiv_icon

08:57 Uhr, 14.05.2014

Hey moin zusammen.

Betrachten Sie den Ortsvektor eines Punktes

\vec{r}

als Funktion seiner Zylinderkoordinaten

y_{1} = r, y_{2} = φ

und

y_{3} = z, d . h

\vec{r} = r \vec{e_{r}} (φ) + z \vec{e_{z}}

.

Zeigen Sie, dass

{(\vec{e_{i}})}_{\vec{r}} = \frac{{({\vec{v}}_{i})}_{\vec{r}}}{| | {({\vec{v}}_{i})}_{\vec{r}} | |}

für

i = 1,2,3

und

{({\vec{v}}_{i})}_{\vec{r}} = \frac{\partial}{\partial y_{i}} \vec{r} (y)

.

Wiederholen Sie dies für einen Ortsvektor als Funktion seiner Kugelkoordinaten,

d . h

. für

\vec{r} (r, φ, Θ) = r \vec{e_{r}} (φ, Θ)

b)

Zeigen Sie nun, dass der Gradient eines Skalarfeldes

Φ

in Kugelkoordinaten gegeben ist durch:

g r a d Φ = \vec{e_{r}} \partial_{r} Φ + r^{- 1} \vec{e_{Θ}} \partial_{Θ} Φ + {(r sin Θ)}^{- 1} \vec{e_{φ}} \partial_{φ} Φ

c)

Zeigen Sie, dass die Divergenz eines Vektorfeld

\vec{F}

in Kugelkoordinaten gegeben ist durch:

d i v = r^{- 2} \partial_{r} (r^{2} \vec{F_{r}}) + {(r sin Θ)}^{- 1} (\partial_{Θ} (sin Θ \vec{F_{Θ}}) + \partial_{φ} \vec{F_{φ}})

Also ich muss sagen, dass das Rechnen mit Zylinder- Polar oder Kugelkoordinaten für mich sich eingependelt hat. Also das ging in letzter Zeit ziemlich gut. Aber bei der Aufgabe jetzt konvergieren meine Ideen gegen Null

: (

Bei

b)

und

c)

sieht man eigentlich, dass man die Identität zeigen soll, ich kenne die Definition der Divergenz und der des Gradienten, jedoch in Kugelkoordinaten noch nicht ganz. Bzw. wieso sie so ist naja werde ich wohl auch so schnell nicht verstehen, muss man ja nicht immer.

Die Darstellung des Gradienten in dreidimensionalen Kugelkoordinaten ist ja:

V = V (r, ϑ, ϕ)

g r a d V = \frac{\partial V}{\partial r} e_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial ϑ} e_{ϑ} + \frac{1}{r sin ϑ} \frac{\partial V}{\partial ϕ} e_{ϕ}

Hingegen gilt in Kugelkoordinaten für die Divergenz eines Vektorfeldes

\vec{F} (r, θ, ϕ) :

d i v \vec{F} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} F_{r}) + \frac{1}{r sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (F_{θ} sin θ) + \frac{1}{r sin θ} \frac{\partial F_{ϕ}}{\partial ϕ}

Wie ich mich jedoch anhand dessen zu der rechten Seite der Gleichung jeweils schlängeln soll, ist mir noch ziemlich unklar

: (

Bei der

a)

weiß ich leider nichts

: (

Danke allen Helfern schon mal

Chica-Rabiosa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

11:42 Uhr, 14.05.2014

Das Ganze sieht schrecklicher aus als es in Wirklichkeit ist.
Nur ist es ziemlich unangenehm, solche Formeln in LaTeX zu schreiben. :(

Zu a). Was

\vec{e_{r}}

\vec{e_{φ}}

und

\vec{e_{z}}

in kartesischen Koordinaten sind, kann man sofort aus der Formel

\vec{r} = r \vec{e_{r}} (φ) + z \vec{e_{z}}

ablesen, denn

\vec{r} = (r \cos (φ), r \sin (φ), z) = r (\cos (φ), \sin (φ), 0) + z (0, 0, 1)

, also

\vec{e_{r}} (φ) = (\cos (φ), \sin (φ), 0)

und

\vec{e_{z}} = (0, 0, 1)

(in kartesischen Koordinaten, wie gesagt). Und

\vec{e_{φ}}

können wir aus den Bedingungen

< \vec{e_{φ}}, \vec{e_{r}} > = < \vec{e_{φ}}, \vec{e_{z}} > = 0

(orthogonal zueinander) und

∣ \vec{e_{φ}} ∣ = 1

(normiert) finden: wenn

\vec{e_{φ}} = (a, b, c)

, dann

a \cos (φ) + b \sin (φ) = 0

c = 0

und

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1

a = - \sin (φ), b = \cos (φ), c = 0 = > \vec{e_{φ}} = (- \sin (φ), \cos (φ), 0)

(wieder in kartesischen Koordinaten).

Und es gilt tatsächlich

\vec{e_{φ}} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} / ∥ \frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} ∥ = (- r \sin (φ), r \cos (φ), 0) / r = (- \sin (φ), \cos (φ), 0),

\vec{e_{r}} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} / ∥ \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} / ∣ = (\cos (φ), \sin (φ), 0),

\vec{e_{z}} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} / ∥ \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} / ∥ = (0, 0, 1)

,

wobei das schon etwas komisch ist, dass man diese Beziehungen zeigen muss, denn normalerweise definiert man

\vec{e_{φ}}, \vec{e_{r}}

und

\vec{e_{z}}

so, durch partielle Ableitungen von neuen Koordinaten im kartesischen System.

DrBoogie aktiv_icon

12:59 Uhr, 14.05.2014

a) Fortsetzung.
Mit den Kugelkoordinaten wird es etwas schwieriger.
Die Bedingung

\vec{r} = r \vec{e_{r}} (φ, ψ)

gibt uns nur den Vektor

\vec{e_{r}}

.
Weil die Kugelkoordinaten durch

\vec{r} = (r \sin (θ) \cos (φ), r \sin (θ) \sin (φ), r \cos (θ))

gegeben sind,
bekommen

\vec{e_{r}} = (\sin (θ) \cos (φ), \sin (θ) \sin (φ), \cos (θ))

.

Für die zwei weitere Basisvektoren müssen wir überlegen, was diese Vektoren in Wirklichkeit sind. Z.B. wenn wir in Richtung

\vec{e_{φ}}

gehen, dann ändern wir nur

φ

, aber nicht

r

oder

θ

- das geschieht ganz in Analogie mit kartesischen Koordinaten, wo wir z.B. nur die

z

-Koordinate ändern, wenn wir Richtung

\vec{e_{z}}

gehen (nur geht es im Fall von Kugelkoordinaten nur um unendlich kleine Bewegungen, weil dies ein gekrümmtes System ist). Daraus folgt, dass die

z

-Komponente von

\vec{e_{φ}}

in kartesischen Koordinaten Null sein muss, denn

\vec{r} = (r \sin (θ) \cos (φ), r \sin (θ) \sin (φ), r \cos (θ))

und

r \cos (θ))

hängt nicht von

φ

ab. Also ist

\vec{e_{φ}} = (a, b, 0)

und aus der Orthogonalität von

\vec{e_{φ}}

und

\vec{e_{r}}

Plus der Normiertheit von

\vec{e_{φ}}

bekommen

\vec{e_{φ}} = (- \sin (φ), \cos (φ), 0)

.
Da wir jetzt zwei Vektoren einer orthonormierten Basis schon haben -

\vec{e_{φ}}

und

\vec{e_{r}}

, können den dritten genauso wie im Fall von zylindrischen Koordinaten finden. Für

\vec{e_{θ}}

gilt nämlich

< \vec{e_{θ}}, \vec{e_{φ}} > = < \vec{e_{θ}}, \vec{e_{r}} > = 0

∣ \vec{e_{θ}} ∣ = 1 = > \vec{e_{θ}} = (\cos (θ) \cos (φ), \cos (θ) \sin (φ), - \sin (θ))

.

Dass die Gleichungen

\vec{e_{θ}} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial θ} / ∣ \frac{\partial \vec{r}}{\partial θ} ∣

\vec{e_{φ}} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} / ∣ \frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} ∣

\vec{e_{r}} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} / ∣ \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} ∣

gelten, prüft man wieder direkt.

Aber auch in diesem Fall finde ich recht merkwürdig, diese Gleichungen beweisen zu wollen, obwohl sie eigentlich Definitionen sind.

DrBoogie aktiv_icon

14:08 Uhr, 14.05.2014

Beim Gradient ist es etwas einfacher.
Zuerst mal der Gradient in kartesischen Koordinaten:

g r a d (V) = (\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z})

.
Jetzt nach der Kettenregel haben

\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial φ} \frac{\partial φ}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial θ} \frac{\partial θ}{\partial x}

\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial V}{\partial φ} \frac{\partial φ}{\partial y} + \frac{\partial V}{\partial θ} \frac{\partial θ}{\partial y}

\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial z} + \frac{\partial V}{\partial φ} \frac{\partial φ}{\partial z} + \frac{\partial V}{\partial θ} \frac{\partial θ}{\partial z}

.

(Wir können

V

als

V (r (x, y, z), φ (x, y, z), θ (x, y, z))

schreiben, die Kettenregel wird darauf angewendet).

Wir brauchen jetzt noch

\frac{\partial r}{\partial x}

\frac{\partial φ}{\partial x}

\frac{\partial θ}{\partial x}

und auch Ableitungen nach

y

und

z

zu berechnen.
Aus

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

φ = \arctan (y / x)

und

\arccos (z / \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}})

haben

\frac{\partial r}{\partial x} = x / r

\frac{\partial r}{\partial y} = y / r

\frac{\partial r}{\partial z} = z / r

\frac{\partial φ}{\partial x} = - y / (x^{2} + y^{2})

\frac{\partial φ}{\partial y} = x / (x^{2} + y^{2})

\frac{\partial φ}{\partial z} = 0

\frac{\partial θ}{\partial x} = x z / (r^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}})

\frac{\partial θ}{\partial y} = y z / (r^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}})

\frac{\partial θ}{\partial z} = - \sqrt{x^{2} + y^{2}} / r^{2}

.

Und weiter geht es mit Einsetzen:

\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial φ} \frac{\partial φ}{\partial x} + \frac{\partial V}{\partial θ} \frac{\partial θ}{\partial x} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{x}{r} - \frac{\partial V}{\partial φ} \frac{y}{x^{2} + y^{2}} + \frac{\partial V}{\partial θ} \frac{x z}{r^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}

usw.

Es ist echt viel zu schreiben, also mache ich mal eine Pause. :-)

Update. Einige Fehler korrigiert.

DrBoogie aktiv_icon

16:12 Uhr, 14.05.2014

Und weiter geht es so:

\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial V}{\partial φ} \frac{\partial φ}{\partial y} + \frac{\partial V}{\partial θ} \frac{\partial θ}{\partial y} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{y}{r} + \frac{\partial V}{\partial φ} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} + \frac{\partial V}{\partial θ} \frac{y z}{r^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}

\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial z} + \frac{\partial V}{\partial φ} \frac{\partial φ}{\partial z} + \frac{\partial V}{\partial θ} \frac{\partial θ}{\partial z} = \frac{\partial V}{\partial r} \frac{z}{r} - \frac{\partial V}{\partial θ} \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{r^{2}}

Also,

g r a d (V) = (\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}) = \frac{\partial V}{\partial r} (\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}) + \frac{\partial V}{\partial φ} (\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}}, 0) + \frac{\partial V}{\partial θ} (\frac{x z}{r^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}, \frac{y z}{r^{2} \sqrt{x^{2} + y^{2}}}, - \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{r^{2}}) =

= \frac{\partial V}{\partial r} \vec{e_{r}} + \frac{\partial V}{\partial φ} (\frac{- r \sin (θ) \cos (φ)}{r^{2} \sin^{2} (θ)}, \frac{r \sin (θ) \sin (φ)}{r^{2} \sin^{2} (θ)}, 0) + \frac{\partial V}{\partial θ} (\frac{r^{2} \sin (θ) \cos (φ) \cos (θ)}{r^{3} \sin (θ)}, \frac{r^{2} \sin (θ) \sin (φ) \cos (θ)}{r^{3} \sin (θ)}, - \frac{r \sin (θ)}{r^{2}}) =

= \frac{\partial V}{\partial r} \vec{e_{r}} + \frac{1}{r \sin (θ)} \frac{\partial V}{\partial r} \vec{e_{φ}} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r} \vec{e_{θ}}

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