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Kubische Funktion

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: kubische Funktionen, Partielle Differentialgleichungen

xandi1983 aktiv_icon

18:03 Uhr, 09.01.2011

Je größer das Marktvolumen, desto größer die Marktattraktivität
je größer das Marktwachstum, desto größer die Marktattraktivität

Das Marktvolumen

V

in Abhängigkeit der Zeit

t

beschreibt eine Funktionskurve

V = V (t);

das Marktwachstum ist

W

ist die

W = V' (t)

V(t)=at^3+bt^2+ct+d (kubische Funktione)

zu

t = 0

sind

V

und

W

null
zu

t = 6

erreicht die Funktion ihren Maximalwert von

80

Einheiten

gesucht:
- Marktvolumen in Abhängigkeit der Zeit?
- Wann wäre das Marktwachstum wieder null?
- Wann ist der Zeitpunkt des schnellsten Wachstums?

Wer kann mir bitte bitte weiterhelfen????? (bitte mit Rechenschritten)

Vielen vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

20:13 Uhr, 09.01.2011

a)

Das Marktvolumen in Abhängigkeit der Zeit:

Hier hast du gegeben, dass es eine ganzrationale Funktion dritten Grades werden soll.
Dafür werden in der Regel 4 Bedingungen benötigt, da vier Parameter

(a, b, c

und

d)

bestimmt werden müssen.

Die Bedingungen sind:

- V (0) = 0

- W (0) = V' (0) = 0

- V (6) = 60

- W (6) = V' (6) = 0

(und

W' (6) < 0,

was wir aber erst einmal vernachlässigen)

Als nächstes kann man die allgemeine Funktionsgleichung von

V

unter Verwendung der Potentzregel ableiten, um auf die allgemeine Funktionsgleichung von

W

zu kommen:

W (t) = V' (t) = a \cdot 3 \cdot t^{3 - 1} + b \cdot 2 \cdot t^{2 - 1} + c \cdot 1 \cdot t^{1 - 1} + 0 = 3 a \cdot t^{2} + 2 b \cdot t + c

Nun müssen ja die vier Bedingungen erfüllt werden. Diese bilden dann also folgendes Gleichungssystem, wenn man nun die allgemeinen Funktionsgleichungen verwendet:

(1) a \cdot 0^{3} + b \cdot 0^{2} + c \cdot 0 + d = 0

(2) 3 a \cdot 0^{2} + 2 a \cdot 0 + c = 0

(3) a \cdot 6^{3} + b \cdot 6^{2} + c \cdot 6 + d = 80

(4) 3 a \cdot 6^{2} + 2 b \cdot 6 + c = 0

Ein bisschen vereinfachen:

(1) d = 0

(2) c = 0

(3) 216 a + 36 b + 6 c + d = 80

(4) 108 a + 12 b + c = 0

Das löst du jetzt am besten mal selbst nach

a, b, c,

und

d

.
Lösung:

a = - \frac{20}{27}

b = \frac{20}{3}

c = 0

d = 0

b)

Das musstest du schon für das Aufstellen der Funktionsgleichung verwenden. Bei Extremstellen wird die erste Ableitung 0 (oder ist an der Stelle nicht definiert, was hier nicht der Fall ist). Wann hat

V

eine Extremstelle?

c)

Entweder die x-Koordinate des Scheitelpunktes nach quadratischer Ergänzung ablesen, oder die relative Extremstelle mit Hilfe der Nullstelle der ersten Ableitung von

W

ermitteln. Das relative Maximum ist das absolute Maximum, da (der Graph von)

W

für Werte

t

größer als die Extremstelle streng monoton fällt und für Werte

t

kleiner als die Extremstelle streng monoton steigt. (Begründung: quadratische Funktion mit negativem Leitkoeffizienten)

xandi1983 aktiv_icon

20:25 Uhr, 09.01.2011

Also erstmal vielen Dank für die Berechnungen - ich bin sprachlos!!!!
Ich merke auch dass Du Dich auf diesem Gebiet wirklich gut auskennst - nicht so wie ich! Ich habe leider nach wie vor nicht viel Ahnung davon.

Ich kann nachvollziehen wie Du die Gleichungen hergeleitet hast und auch wie Du zu den Werten der einzelnen Variablen kommst. Was aber jetzt konkret die Antwort auf

b

unbd

c

ist kann ich leider nicht nachvollziehen!

Kann man in Jahren ausdrücken wann das Marktvolumen wieder Null ist? Und wann konkret ist der Zeitpunkt des schnellsten Marktwachstums?

Du würdest mir ungemein weiterhelfen!!!! Es geht immerhin um eine VIER;-)))

Vielen Dank!

anonymous

21:12 Uhr, 09.01.2011

b)

Du sagst du hast verstanden, wie ich auf die Gleichungen gekommen bin. Wie bin ich denn wohl auf

W (6) = V' (6) = 0

gekommen.
Ich habe mir gedacht:

V

ist im gesamten Definitionsbereich differenzierbar, sonst könnte das Maximum auch

z . B

. bei einer Knickstelle entstehen. Wenn also ein Maximum vorkommt muss

W (t) = V' (t)

zu 0 werden. Denn eine Tangente, welche den Funktionsgraphen von

V

an dieser Stelle berührt parallel zur x-Achse verlaufen muss und daher die Steigung 0 besitzt.
Da also

V

bei

t = 6

ein Maximum besitzt, muss dort eine Nullstelle von der ersten Ableitung

W = V'

sein.

Also besitzt

W

bei

t = 6

eine zweite Nullstelle, neben der bei

t = 0

. Eine weitere kann es nicht geben, da

W

eine quadratische Funktion ist, welche nur zwei Nullstellen haben kann.

Man könnte das auch in Jahren ausdrücken, wenn man wüsste in welcher Zeiteinheit

t

gemessen wird. Da du dies aber nicht angegeben hast (ich weis auch nicht, ob das evtl. in deiner Angabe steht), weis ich auch nicht ob

t = 6

jetzt nach 6 Stunden ist oder nach 6 Jahren oder nach 6 Weisnichtwas.

Bei der

c)

ist der Zeitpunkt

t

gesucht, bei dem die Funktion

W

ihr absolutes Maximum annimmt.

Die Funktionsgleichung von

W

mit dem Ergebnis von

a)

lautet wie folgt:

W (t) = - \frac{20}{9} \cdot t^{2} + \frac{40}{3} \cdot t

(Hier ist mir gerade aufgefallen, dass ich mich verrechnet habe. Die Ergebnisse für a und

b,

die ich in meinem vorigen Beitrag genannt habe waren falsch. Ich habe es auch gleich im vorigen Beitrag ausgebessert. Ich hoffe ich habe mich nicht nochmal irgendwo verrechnet, aber ich denke das dies nicht der Fall ist.)

Jetzt kann man die Extremstelle des relativen Extrempunktes mit der Nullstelle der ersten Ableitung berechnen. Oder aber man führt eine quadratische Ergänzung aus und liest dann bei der enstandenen Scheitelform, wie diese Form genannt wird, die Stelle des Scheitelpunktes ab. Da der Leitkoeffizient

(- \frac{20}{9})

negativ ist, ist der Graph von

W

eine nach unten geöffnete Parabel, weshalb alle anderen Funktionswerte kleiner sind, als das relative Maximum, weshalb dieses relative Maximum auch das absolute Maximum ist.

Hier auch nochmal etwas zur quadratischen Ergänzung, falls du es auf diese Weise machen möchtest und dir nicht (mehr) sicher bist, wie das geht:
http//www.onlinemathe.de/mathe/inhalt/Quadratische-Ergaenzung
http//de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Erg%C3%A4nzung

Das war es jetzt mal für heute. Wenn noch was ist, werde ich erst morgen darauf antworten.

MfG, Mi-St

xandi1983 aktiv_icon

21:32 Uhr, 09.01.2011

Vielen Dank! Das hilft mir wirklich schon sehr weiter! Ich habe noch ein paar Fragen, die werde ich Dir morgen schicken!

Vielen Dank für Deine Hilfe und einen schönen Abend!

LG

xandi1983 aktiv_icon

10:22 Uhr, 10.01.2011

Schönen guten Morgen!

Ich habe gestern am Abend noch versucht den Rest der Aufgabe zu lösen und leider habe ich festgestellt dass ich das einfach nicht kann. Wir haben das alles rund um die kubischen Funktionen auf der Uni nie gemacht und mir kann auch leider keiner meiner Kollegen helfen....

Ich schreibe Dir anbei noch die restlichen Aufgabenstellungen und vielleicht ist das ja für Dich schnell und einfach lösbar - ich wäre Dir auf jeden Fall sehr dankbar.....

Angabe: die Marktattraktivität hängt von der Funktion

V (t)

UND ihrer Ableitung

V' (t)

ab, wie schon eingangs bemerkt wurde. Berechnen Sie den Zeitpunkt höchster Marktattraktivität

A = A (t)

für den Fall, dass

A (t)

als Produkt von

V (t)

und

V' (t)

dargestellt werden kann und für den Fall, dass es als Summe der beiden dargestellt werden kann.

Begründen Sie, in wie fern diese beiden Modelle sich auf die Attraktivität unterschiedlich auswirken.

Wie gesagt, wenn Du mir da auch noch weiterhelfen könntest dann wäre das echt großartig!

Viele liebe Grüße,
Xandi

anonymous

16:02 Uhr, 10.01.2011

Wenn

A (t)

das Produkt von

V (t)

und

V' (t)

ist gilt:

A (t) = V (t) \cdot V' (t)

Nun hast du

V (t)

und

V' (t)

schon in der vorigen Aufgabe ermitteln müssen:

V (t) = - \frac{20}{27} \cdot t^{3} + \frac{20}{3} \cdot t^{2}

V' (t) = - \frac{20}{9} \cdot t^{2} + \frac{40}{3} \cdot t

Wenn du das nun bei

A (t) = ...

einsetzt erhälst du:

A (t) = (- \frac{20}{27} \cdot t^{3} + \frac{20}{3} \cdot t^{2}) \cdot (- \frac{20}{9} \cdot t^{2} + \frac{40}{3} \cdot t)

Dass kann man jetzt noch etwas vereinfachen, wenn man will.
Entweder noch weiter ausklammern:

A (t) = \frac{20}{3} \cdot t^{2} \cdot (- \frac{1}{9} \cdot t + 1) \cdot \frac{20}{3} \cdot t \cdot (- \frac{1}{3} \cdot t + 2) = \frac{400}{9} \cdot t^{3} \cdot (1 - \frac{t}{9}) \cdot (2 - \frac{t}{3})

Oder eben ausmultiplizieren:

(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d

A (t) = - \frac{20}{27} \cdot t^{3} \cdot (- \frac{20}{9} \cdot t^{2}) + \frac{20}{3} \cdot t^{2} \cdot (- \frac{20}{9} \cdot t^{2}) - \frac{20}{27} \cdot t^{3} \cdot \frac{40}{3} \cdot t + \frac{20}{3} \cdot t^{2} \cdot \frac{40}{3} \cdot t

A (t) = \frac{400}{243} \cdot t^{5} - \frac{400}{27} \cdot t^{4} - \frac{800}{81} \cdot t^{4} + \frac{800}{9} \cdot t^{3} = \frac{400}{243} \cdot t^{5} - \frac{2000}{81} \cdot t^{4} + \frac{800}{9} \cdot t^{3}

Wenn

A (t)

die Summe von

V (t)

und

V' (t)

ist, gilt:

A (t) = V (t) + V' (t)

Hier wirder für

V (t)

und

V' (t)

einsetzen:

A (t) = - \frac{20}{27} \cdot t^{3} + \frac{20}{3} \cdot t^{2} - \frac{20}{9} \cdot t^{2} + \frac{40}{3} \cdot t

Hier geht das ein wenig einfacher:

A (t) = - \frac{20}{27} \cdot t^{3} + \frac{40}{9} \cdot t^{2} + \frac{40}{3} \cdot t

Das mit der Auswirkung ist relativ schwierig zu erklären.
Ich wüsste da auch nicht so richtig, was ich schreiben sollte.
Da hilft dir am besten jemand anderes. (Vielleicht nochmal eine Frage eröffnen.)
Wenn ich etwas schreiben müsste würde ich schreiben, dass bei der "Produkt"-Attraktivität das Wachstum sich nur entsprechend auf die Attraktivität auswirken kann, wenn entsprechend viel (oder wenig, jedenfalls nicht nahe

0)

Marktvolumen vorhanden ist, und umgekehrt.

. .

.
Aber bei der Aufgabe tue ich mich ziemlich schwer und bin mir nicht so sicher. Aber vielleicht kann dir ja, wie schon geschrieben, jemand anderes hier im Forum da weiterhelfen.

xandi1983 aktiv_icon

17:02 Uhr, 10.01.2011

Vielen Vielen Dank für Deine Berechnungen. Ich bin mir sicher dass das stimmt und wenn nicht, ich hätte es auf keinen Fall besser gekonnt bzw. ich hätte es gar nicht gekonnt! Ich hoffe das Rechnen hat nicht zu viel Deiner Zeit in Anspruch genommen!!???

Ich wünsche Dir auf jeden Fall einen schönen Abend!

Vielen Dank und liebe Grüße.

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