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Kubische Funktion Textbeispiel
Schüler Sonstige,
Tags: Differentialrechnung, Funktion, kubische Funktion, kubische gleichung
 
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Der erste Teil einer Achterbahn kann durch eine Funktion 3. Grades beschrieben werden. Der Startpunkt A liegt in Höhe, die Steigung ist dort 0. Der Punkt mit dem stärksten Gefälle hat vom Start eine horizontale Entfernung von die Steigung beträgt dort . Ermitteln Sie die Gleichung der Funktion. Mein Ansatz, aber ich komme damit nicht weit y=ax^3+bx^2+cx+d y'=3ax^2+2bx+c Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Da sind noch zwei Angaben zu verarbeiten. Diese wären: "die Steigung ist dort 0" und "Der Punkt mit dem stärksten Gefälle" was bedeutet, dass das Gefälle dort ein Extremwert ist, also seine Ableitung (die Ableitung der Ableitung) Null ist. Damit solltest Du weiter kommen. :-) |
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Wäre der Extremwert nicht bei Punkt ? Ich dachte mit der 2.Abl berechnet man den Wendepunkt ? |
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Ja, an der Stelle ist der WP, so wie Stephan4 geschrieben hat, die Ableitung der Ableitung. Ist doch |
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y''=6ax+2b also so? |
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Ja genau, |
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Dankeschön! :-) Habs jetzt verstanden. |
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Zur Kontrolle: |
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?! |
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Ja, ist doch dass was ich auch habe. |
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Jap, so schaut auch der Graph bei mir aus. Nur kurz damit ich das verstehe, wenn da also im Textbeispiel steht "Punkt mit dem stärksten Gefälle" kann ich annehmen das damit der WP gemeint ist, stimmts? |
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Ja, dann ist der Wp gemeint. |
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Hallo, hier mal ein etwas anderer Lösungsweg ohne linearem Gleichungssystem: Man kennt den Hochpunkt und die Wendestelle . Dann kennt man auch die Stelle mit dem Tiefpunt, denn die Wendestelle einer ganzrationalen Funktion dritten Grades liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Extremstellen, wenn es zwei Extremstellen wie hier gibt. Das liegt daran, dass die Ableitung einer solchen Funktion eine quadratische Funktion ist, die immer symmetrisch zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt ist, der Scheitelpunkt an der Wendestelle der Funktion liegt und die Nullstellen von symmetrisch zur Stelle des Scheitelpunktes liegen. Dann kann man den Ansatz: machen. Mit dem am Wendepunkt gegebenen Anstieg errechnet man: Dann kann man durch Integration finden: Mit dem Startpunkt errechnet man |
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Es gibt aber zwei Scheitelpunkte, wie weiss ich durch welchen die geht? Ist das immer bei einer ganzrationalen Funktion so das der WP zwischen 2 Extrempuunkten liegt? |
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Du hast ja nur den Extremwert bei gegeben. Der andere hatte sich dann ergeben. Der WP liegt immer zwischen 2 Extremwerten. |
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Danke, :-) |
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Danke, :-) |
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Hallo, sämtliche Verweise auf einen Scheitelpunkt in meinem Post von Uhr beziehen sich, wie man mit etwas aufmerksamen Lesen selbst herausfinden kann, auf die Ableitung der gesuchten Funktion, die selbst wieder eine ganzrationale Funktion 2-ten Grades, also eine quadratische Funktion ist. Eine solche quadratische Funktion hat immer genau einen Scheitelpunkt! "Ist das immer bei einer ganzrationalen Funktion so das der WP zwischen 2 Extrempuunkten liegt?" Klares Jain! "Ja", weil ein Wendepunkt immer nur zwischen zwei Extremstellen liegen kann! Und "Nein", weil ich vermute, dass Du auch hier nur oberflächlich gelesen oder geschrieben hast und meinst, dass der Wendepunkt immer GENAU zwischen zwei Extremstellen liegt. Das ist NUR bei ganzrationalen Funktionen 3-ten Grades der Fall und warum das nur bei diesen der Fall ist, hatte ich bereits begründet. Hier noch mal der Text mit Hinweisen auf die besonders zu beachtenden Stellen: "Das liegt daran, dass die Ableitung einer solchen Funktion eine quadratische Funktion ist, die immer symmetrisch zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt ist, der Scheitelpunkt an der Wendestelle der Funktion liegt und die Nullstellen von symmetrisch zur Stelle des Scheitelpunktes liegen." |
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Hallo, ja danke für die Erläuterung nochmal, hab wohl wirklich ungenau gelesen! |
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