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Kürzen in Gruppen, Ringen und Körpern
Universität / Fachhochschule
Gruppen
angewandte lineare Algebra
Tags: Gruppen, Körper, kürzen, Ring
 
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Hallo, bezüglich dem Kürzen in Gruppen, Ringen und Körpern bin ich beim Lernen auf 2 Dinge in unserem Skript gestoßen, die für mich irgendwie ein bisschen widersprüchlich sind. vielleicht fehlt mir aber auch nur ein kleiner tipp. Zu einen wird behauptet: 1) In einer Gruppe kann gekürzt werden also ist a+b = a+c nach dem kürzen b=c und a*b =a*c nach dem kürzen b=c Verstehe ich das richtig, dass wenn a,b,c Elemente aus G sind dann darf ich sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation kürzen? 2) Seien (R,+,*) ein Ring und a,b,c ein Element aus R. Dann gilt: aus a+b = a+c folgt b=c Wenn R ein Körper und a ungleich 0 ist, dann gilt: Aus a*b = a*c folgt b=c. Also darf ich bei einem Ring nur bei der Addition kürzen? Und falls es sich bei R zusätzlich um einen Körper handelt, darf ich bei der Multiplikation kürzen? 3) wenn a,b,c Element der ganzen Zahlen sind darf a*c = b*c gekürzt werden. Meine Frage hierzu: (Z,+,*) ist kein Körper. Warum darf dann bei der Multiplikation trotzdem kürzen? Die Aussagen (1,2,3) stehen bei uns so im Skript. Danke schon mal fürs helfen |
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anonymous 17:06 Uhr, 12.09.2012 |
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Du bringst hier einiges durcheinander (siehe 1) ) - du musst dir über die Strukturen Halbgruppe - Gruppe - Ring - Körper klar werden. In einer Gruppe gibt es nur eine Verknüpfung, die oftmals additiv order multiplikativ geschrieben wird (muss aber so nicht sein) - damit ist deine Frage zu 1) eigentlich beantwortet. Aussagenlogisch machst du einen Fehler: der Satz "K Körper es darf bei beiden Verknüpfungen gekürzt werden" ist aussagenlogisch nicht äquivalent mit "K kein Körper es darf nicht gekürzt werden" vielmehr gilt "Es kann nicht (immer) gekürzt werden K ist kein Körper" |
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Hallo, 1. In Gruppen ist immer nur eine Operation erklärt, es handelt sich also um eine Gruppe mit der Operation "+" und eine mit der Operation "*". Wie auch immer das verwendete Operationszeichen gewählt wird, in einer Gruppe darf gekürzt werden. 2. Ein Ring ist bzgl. einer Operation eine Gruppe . als "+" bezeichnet) und bzgl. der anderen Operation eine Halbgruppe . als "*" bezeichnet). Natürlich darf man bzgl. der Operation kürzen, die eine Gruppe bildet. Ist ein Ring ein Körper, dann ist dieser Ring auch bzgl. der zweiten Operation eine Gruppe und es darf auch bei dieser zweiten Operation gekürzt werden. 3. Man darf in einem Ring, der kein Körper ist im allgemeinen nicht kürzen. Das heißt aber nicht, dass es spezielle Ringe gibt, in denen man trotzdem kürzen kann. Die Gruppeneigenschaft bzgl. einer Operation ist eine sehr scharfe Forderung für das Kürzen. Es genügt bereits eine wesentlich schwächere Forderung: Die Operation "*" muß bzgl. jedem beliebigen Element (natürlich die Null ausgenommen, das steht bei 2 aber bei 3 hast Du das vergessen!) für alle Elemente eine eineindeutige Abbildung sein, . für alle und alle . Diese wesentlich schwächere Forderung ist in der Gruppeneigenschaft enthalten. |
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Hallo, auch in darf nicht gekürzt werden: , aber: . Mfg Michael |
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Hallo michaL, dass die Null eine Ausnahme darstellt, steht in der Aufgabenstellung und wurde auch von mir noch einmal explizit erwähnt! Unter diesen Umständen darf in jedem Körper und in Ringen, in denen die Multiplikation der von mir formulierten Eineindeutigkeitsbedingung genügt, gekürzt werden. Dein Beitrag trägt nur zur Verwirrung bei! |
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