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Kugel-Fächer Modell

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

Tulco12 aktiv_icon

20:12 Uhr, 14.11.2021

7 Murmeln werden zufällig auf 7 Fächer verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eines der Fächer leer ist?

Hallo, kann mir jemand weiter helfen? Ich stehe momentan komplett auf dem Schlauch und weiß nicht mehr weiter.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:29 Uhr, 14.11.2021

\frac{6 \cdot 7}{(\begin{matrix} 13 \\ 7 \end{matrix})}

= \frac{6 \cdot 7 \cdot 7! \cdot 6!}{13!}

= \frac{6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}

= \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}

= \frac{7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 8}

= \frac{7 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2}{13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 8}

= \frac{7 \cdot 6}{13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 3}

= \frac{7}{13 \cdot 2 \cdot 11} = \frac{7}{286}

HAL9000

13:47 Uhr, 15.11.2021

Wenn jede einzelne der 7 Murmeln unabhängig von den anderen, und gleichverteilt auf die 7 Fächer verteilt wird (*), dann befinden wir uns in dem Laplaceschen Grundraum

Ω = {1, \dots, 7}^{7}

, wobei in

ω = (ω_{1}, \dots, ω_{7})

die Komponente

ω_{k}

die Nummer des Faches kennzeichnet, in das die

k

-te Murmel fällt. Sämtliche Ereignisse in diesem W-Raum sind ganzzahlige Vielfache von

\frac{1}{∣ Ω ∣} = \frac{1}{7^{7}}

.

Ernst Hubert Wilfred scheint ein anderes Wahrscheinlichkeitsmodell zu betrachten, welches mit Annahme (*) nicht vereinbar ist.

---------------------------------
Mit Ereignis

A_{k}

... Fach

k

ist leer

ist aus Symmetriegründen klar, dass

N_{m} = (\begin{array}{c} 7 \\ m \end{array}) ∣ ⋂_{k = 1}^{m} A_{k} \cap ⋂_{k = m + 1}^{7} A_{k}^{c} ∣

die Anzahl an Elementarereignissen ist, wo genau

m

Fächer leer sind. Diese Durchschnittswahrscheinlichkeit berechnet sich gemäß Siebformel über

N_{m} = (\begin{array}{c} 7 \\ m \end{array}) \sum_{k = 0}^{7 - m} {(- 1)}^{k} (\begin{array}{c} 7 - m \\ k \end{array}) \cdot ∣ ⋂_{j = 1}^{m + k} A_{j} ∣

= (\begin{array}{c} 7 \\ m \end{array}) \sum_{k = 0}^{7 - m} {(- 1)}^{k} (\begin{array}{c} 7 - m \\ k \end{array}) \cdot {(7 - m - k)}^{7}

.

Das ergibt die Wahrscheinlichkeit

p_{m} = \frac{N_{m}}{7^{7}}

für genau

m

leere Fächer, insbesondere

p_{1} = \frac{2160}{7^{5}} \approx 0.1285

.

Eine andere Lösungsvariante ist weniger rechenaufwändig, dafür aber auch weniger allgemein, weil sie Bezug nimmt auf die spezielle Parameterkonstellation hier:

"Genau ein Fach leer" bedeutet bei 7 Murmeln und 7 Fächern, dass in 5 Fächern genau eine Murmel liegt, sowie in einem weiteren Fach genau zwei Murmeln. Da bedeutet 7 Möglichkeiten für die Wahl des leeren Faches, weitere 6 Möglichkeiten für die Wahl des Faches mit genau zwei Murmeln, dann

(\begin{array}{c} 7 \\ 2 \end{array})

Möglichkeiten für die Wahl der zwei Murmeln für das Doppelfach, und schlussendlich

5!

Möglichkeiten für die Aufteilung der 5 Restkugeln auf die 5 Einzelfächer.

p_{1} = \frac{7 \cdot 6 \cdot (\begin{array}{c} 7 \\ 2 \end{array}) \cdot 5!}{7^{7}} = \frac{18 \cdot 5!}{7^{5}}

Kartoffelchipsman aktiv_icon

16:17 Uhr, 15.11.2021

Ah, Danke dafür.
Ich bin von Multimengen "7 aus 7" ausgegangen (Der Nenner),
davon

6 \cdot 7

für ein Leer- und ein Doppelfach (Der Zähler).
Der Fehler ist natürlich,
jede der

(\begin{matrix} 13 \\ 7 \end{matrix})

Multimengen
als gleichwahrscheinlich zu
betrachten.

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