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Kugel in Rotationsparaboloid

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Rotationsparaboloid, volum

hugo1234 aktiv_icon

16:35 Uhr, 10.03.2013

Hallo,

Folgendes Problem, das mich gerade in den Wahnsinn treibt (und ich bin überzeugt, der Lösungsansatz ist trivial, ich komm nur beim besten Willen nicht drauf):

"Eine Eisschale entsteht durch Rotation einer Parabel in 2.HL um die y-Achse. Sie ist 9cm hoch und hat einen Öffnungsdurchmesser von 12cm.

a)

Ermitteln Sie die Parabelgleichung und das Volumen der Schale"

Scheint mir trivial, der Punkt

(6 | 9)

muss auf der Parabel liegen, in Gleichung 2.HL eingesetzt ergibt sich damit für die Parabel

x^{2} = 4 y

und für das Volumen

162 π

.

Der mühsame Teil kommt jetzt:

"b) In diese Schale wird nun eine Eiskugel mit dem Radius

r = \sqrt{12}

gelegt. Berechnen Sie das Volumen des unter der Kugel freibleibenden Raumes."

Mein ursprünglicher Ansatz war: ich betrachte das ganze mal weiter im 2-dimensionalen, dann ist die Kugel ein Kreis mit der dicksten Stelle

2 \cdot \sqrt{12}

.

Wo berührt das also die Parabel? Dort, wo die Parabel als x-Koordinate

\sqrt{12}

hat, damit hat der Kreis dann den Mittelpunkt

(0 | 3)

. Stimmt aber nicht, weil

\sqrt{12}

ja ein bisschen mehr als 3 ist und damit die Kugel ja unten aus der Schale stehen würde.

Graphisch kann ich's lösen, da sollte

(0 | 4)

für den Mittelpunkt und damit

x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 12

für den Kreis herauskommen, der dann als Rotationskörper ja wieder die Eiskugel gibt. Rest ist dann trivial, einzige Frage die bleibt: wie komme ich bitte rechnerisch auf die Lage des Kreises/der Kugel?

Mit bestem Dank im Voraus und lg
Hugo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DK2ZA aktiv_icon

17:28 Uhr, 10.03.2013

Der Berührpunkt

B

des Kreises mit der Parabel habe die Koordinaten

x_{0}

und

y_{0} = \frac{1}{4} \cdot x_{0}^{2}

.

Die Steigung der Parabel in

B

ist

y' = \frac{1}{2} \cdot x_{0}

.

Der Kreisradius, welcher durch

B

geht, steht senkrecht auf der Tangente an die Parabel in

B

und hat folglich die Steigung

m = - \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot x_{0}} = - \frac{2}{x_{0}}

.

Die Geradengleichung dieses Radius ist

y = m \cdot x + b

y = - \frac{2}{x_{0}} \cdot x + b

B

liegt auf dieser Geraden. Also muss gelten:

y_{0} = - \frac{2}{x_{0}} \cdot x_{0} + b

b = y_{0} + 2

Der Radius soll die Länge

\sqrt{12}

besitzen:

12 = x_{0}^{2} + 2^{2}

x_{0} = \sqrt{8}

y_{0} = \frac{1}{4} \cdot x_{0}^{2} = 2

Die Gleichung des Kreisradius lautet also

y = - \frac{2}{x_{0}} \cdot x + b

y = - \frac{2}{\sqrt{8}} \cdot x + y_{0} + 2

y = - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot x + 2 + 2

y = - \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot x + 4

Der Kreismittelpunkt liegt auf der y-Achse

(x = 0)

in der Höhe

y = 4

GRUSS, DK2ZA

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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