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Kugel- und Würfelvolumen

Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe

 
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Wie vergleicht man das Volumen einer Kugel mit dem eines Würfels?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Gegeben: VK (Kugelvolumen),
Gesucht: Seitenlänge a des Würfels mit gleichem Volumen VW=VK

Beispiel

VK=27cm3

VW=a3

Volumina gleich setzen: VW=VKa3=27

a=273=3cm
Gegeben: VW (Würfelvolumen),
Gesucht: r (Radius) der Kugel mit gleichem Volumen VK=VW

Beispiel

VW=27cm3

Volumina gleich setzen: VK=VW43πr3=27

r=2734π31,86
Gegeben: VW (Würfelvolumen) ist gleich VK (Kugelvolumen)
Gesucht: Verhältnis der Oberflächen AW (Würfeloberfläche) und AK (Kugeloberfläche)

Beispiel

VW=a3

VK=16πd3

Volumina gleich setzen: VW=VK

a3=16πd3

Die Gleichung nach d auflösen:

d=6π3a

d einsetzen in Formel für Kugeloberfläche

AK=πd2=π(6π3)2a2

Oberflächen ins Verhältnis setzen:

AW=6a2

AWAK=6a2π(6π3)2a2

Der Term a2 kürz sich raus und man kann mittels Taschenrechner den Bruch ausrechenen:


AWAK=6π(6π3)21,241

Die Würfeloberfläche ist also etwa das 1,241fache der Kugeloberfläche

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