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Kugelflächenfunktionen Eigenschaften

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Tags: Funktion

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17:37 Uhr, 23.05.2021

Hallo,
ich sitze an einer Aufgabe, in der es um Vereinfachungen der Entwicklungskoeffizienten der Kugelflächenfunktionen geht, bei gewissen Symmetrien. Ich schreibe mal die Aufgabe zuerst.

Funktionen

f (\vec{r})

können gemäß

f (\vec{r}) = \sum_{l, m} f_{l m} (r) Y_{l m} (θ, φ)

mit

f_{l m} (r) = \int d Ω Y_{l m}^{*} (θ, φ) f (\vec{r})

Y_{l m} (θ, φ) = \sqrt{\frac{2 l + 1}{4 π} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} P_{l}^{m} (c o s θ) e^{i m φ}

In Kugelflächenfunktionen entwickelt werden. Für den Fall, dass

f (\vec{r})

gewisse Symmetiren besitzt, verschwinden einige Koeffizienten

f_{l m} (r)

. Welche sind dies für

1 . f (\vec{r}) = f (r, θ)

2 . f (\vec{r}) = f (r)

3 . f (\vec{r}) = f (- \vec{r})

4 . f (\vec{r}) = - f (- \vec{r})

Bei der 1. sieht man ja, dass m=0 sein muss. Bei 2. müsste

l = m = 0

gelten, da ja dann die Kugelflächenfunktion eine Konstante sein muss. Bei 3. und 4. habe ich bis jetzt keinen Idee.
Ich habe mir gedacht das bei 3. folgendes gelten muss.

Y_{l m} (- θ, - φ) = Y_{l m} (θ, φ)

für welche l und m das efüllt ist weiß ich nicht. Ich denke aber, dass das schon für das

θ

gilt, da

Y_{l m}

nur vom

c o s (θ)

abhängt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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