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Kugelgeometrie

Universität / Fachhochschule

Tags: Kurs, Kurswinkel, Zielposition ermitteln

BlubNN aktiv_icon

12:05 Uhr, 07.06.2011

Hallo.
Ich muss Aufgaben bearbeiten und habe keine Ahnung, wie ich das machen soll. Daher hoffe ich, dass mir einer helfen kann...
Hier die Aufgaben:

1 a)

Ein Fischkutter fährt von Helgoland aus (Koordinaten 54,2°N, 7,9°O) mit konstantem Kurs NW, und zwar 1000km weit. Ermitteln Sie seine Zielposition näherungsweise (Rechnen in der Ebene).

1 b)

Ein zweiter Helgoländer Kutter will zu den Fischgründen östlich der Orkney-Inseln, mit der Zielposition 59°N, 2°W. Berechnen Sie den Kurswinkel und die Länge des Weges, auch hier näherungsweise in der Ebene.

2 a)

Ein Flugzeug fliegt auf einer Loxodromen (also mit konstatem Kurs) von Frankfurt (50,1°N, 8,7°O) nach Tokio (35,7°N, 139,8°O). Berechnen Sie den Kurswinkel mit der exakten Loxodromengleichung und die Länge der Loxodrome

2 b)

Auf welcher Position hat das Flugzeug die Hälfte des Weges zurückgelegt? (Die Weglänge ist proportional zur Breitendifferenz!)

2 c)

Auf welcher Breite schneidet die Loxodrome den Meridian von Moskau (37,6°O)?

Ist jetzt ziemlich viel...Aber vielleicht kann mir jemand zumindest teilweise helfen...
Vielen lieben Dank schon einmal im vorraus!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

00:16 Uhr, 08.06.2011

Hallo,

fangen wir mal mit

1 a)

an. Ich habe dazu mal ein Bild gemacht (siehe unten). Der Fischkutter fährt von Helgoland los Richtung Nordwesten. Der winkel

α

beträgt deshalb genau 45°. Er legt die Entfernung

d = 1000

km zurück. Diese Distanz zerlegen wir in eine Distanz

x

Richtung Westen und in eine Distanz

y

Richtung Norden.

d, x

und

y

bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Aus dem Winkel

α

und der Distanz

d

kann man sofort

x

y

berechnen, denn es ist

\frac{x}{d} = cos (α) \Rightarrow x = d \cdot cos (α)

\frac{y}{d} = sin (α) \Rightarrow y = d \cdot sin (α)

(Zur Kontrolle:

x \approx 707

km,

y \approx 707

km)
Nun müssen wir nur noch die Distanzen

x

und

y

in Winkeldistanzen umrechnen. Dazu muß man wissen daß 1 Breitengrad immer ca.

111

km lang ist. Die Länge eines Längengrades hängt dagegen von der geografischen Breite ab und ist

111

\cdot cos (φ),

wobei

φ

die geografische Breite ist. Auf der Breite von Helgoland sind das ca. 111*cos(54.2°)

\approx 64.9

km. Also hat der Fischkutter in westlicher Richtung etwa

\frac{707}{64.9} \approx 10.9

Längengrade und in nördlicher Richtung etwa

\frac{707}{111} \approx 6.4

Breitengrade zurückgelegt. Die Koordinaten von Helgoland sind 54.2°N und 7.9°O. Deshalb hat das Ziel in etwa die Koordinaten 54.2°+6.4° = 60.6°N und 7.9°-10.9° = -3°O = 3°W.

Wenn Du das verstanden hast, kannst Du auch

1 b)

lösen. Dort läuft es umgekehrt. Zuerst die Distanzen in Längen- und Breitengraden ausrechnen, dann die Gradzahlen in km umrechnen. Man hat dann

x

und

y

d

erhält man dann mit dem Pythagoras und

α

über

tan (α) = \frac{y}{x}

Viele Grüße
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

00:17 Uhr, 08.06.2011

Sorry, ich habe das Bild vergessen.

BlubNN aktiv_icon

13:04 Uhr, 08.06.2011

Hey.
Vielen lieben Dank!!!
Das hilft mir wirklich sehr weiter!

=)

Bleibt nur noch das Problem mit der zweiten Aufgabe ;-)

Yokozuna aktiv_icon

17:52 Uhr, 08.06.2011

Hallo,

ich komme mit spärischer Trigonometrie eigentlich schon klar, aber Loxodrome sind im Zeitalter von Autopiloten und GPS doch ziemlich aus der Mode gekommen. Daher mußte ich erst mal das Web bezüglich Loxodromen durchforsten. Ich habe unglücklicherweise zwei Varianten von Loxodromengleichungen gefunden, wobei nur eine davon richtig sein kann. Ich denke, die Loxodromengleichung müßte richtig heißen:

η =

arctan(

\frac{λ_{z} - λ_{s}}{ln (tan (\frac{φ_{z}}{2} + \frac{π}{4})) - ln (tan (\frac{φ_{s}}{2} + \frac{π}{4}))})

Ich habe noch eine gefunden, bei der im tan "+ pi/2" steht. Ich denke, daß das falsch ist, bin mir aber nicht sicher.
Bevor ich also weiter mache, habe ich folgende Bitte. Laut Aufgabenstellung sollst Du ja den Kurswinkel mit der exakten Loxodromengleichung berechnen. Also müßtet ihr ja diese exakte Loxodromengleichung irgendwann mal durchgenommen haben oder sie steht irgendwo in einem Vorlesungsskript oder Buch. Falls Du diese Gleichung irgendwo findest, wäre es gut, sie mit meiner Version zu vergleichen, damit wir herausbekommen, welche richtig ist. Wenn ich die richtige Gleichung kenne, kann ich Dir denke ich auch weiterhelfen.

Viele Grüße
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

20:42 Uhr, 08.06.2011

So, daß Internet hat mit

3 : 1

Stimmen für

\frac{π}{4}

gestimmt (darunter auch Wikipedia). Deshalb bin ich jetzt ziemlich sicher, daß die folgende Formel richtig ist:

η =

arctan(

\frac{λ_{z} - λ_{s}}{ln (tan (\frac{φ_{z}}{2} + \frac{π}{4})) - ln (tan (\frac{φ_{z}}{2} + \frac{π}{4}))})

Dabei steht der Index

s

für Start und

z

steht für Ziel. Damit kann man den ersten Teil der Aufgabe

2 a)

lösen, den die Koordinaten des Start- und des Zielorts sind ja gegeben.
Wichtig ist dabei, daß die Differenz

λ_{z} - λ_{s}

unbedingt im Bogenmaß gerechnet werden muß.
Da der arctan nur Werte zwischen

- \frac{π}{2}

und

+ \frac{π}{2}

liefert, muß der durch den arctan gelieferte Wert für

η

ggf. noch korrigiert werden, um den richtigen rechtweisenden Kurs zu bekommen. Dazu macht man folgendes:
Ist

φ_{z} < φ_{s} (d . h .,

das Ziel liegt südlich des Startpunktes), dann addiert man

π

η

hinzu. Ist

φ_{z} > φ_{s}

und

λ_{z} < λ_{s} (d . h .,

das Ziel liegt nördlich und westlich des Startpunktes), dann addiert man

2 \cdot π

η

hinzu.
Bei der vorliegenden Aufgabe erhalte ich

η = - 1.4209

entsprechend -81.4° und nach Addition von

π

bzw. 180° (da

φ_{z} < φ_{s})

η = 1.7207

entsprechend 98.6°

Für die Entfernung gibt es die Formel

d = R \cdot \frac{φ_{z} - φ_{s}}{cos (η)}

wobei

R = 6370

km der Erdradius ist. Wichtig ist, daß auch hier die Differenz

φ_{z} - φ_{s}

im Bogenmaß gerechnet werden muß. Ich erhalte dann

d = 10720

km (zum Vergleich habe ich mal die kürzeste Distanz entlang eines Großkreises berechnet; sie beträgt etwa

9360

km).

Ich muß mal für eine Weile unterbrechen. Anleitung für

2 b)

und

2 c)

folgt in Kürze.

Bis dahin, viele Grüße
Yokozuna

Yokozuna aktiv_icon

21:29 Uhr, 08.06.2011

Jetzt kommt der letzte Teil der Loxodromen-Trilogie.

Bei

2 b)

gibt es ja den Lösungshinweis, daß die Entfernung proportional zur Breitendifferenz ist. Das sieht man ja an der Formel für die Distanz:

d = R \cdot \frac{φ_{z} - φ_{r}}{cos (η)}

Das heißt, halbe Entfernung = halbe Breitendifferenz. Damit kann man die Breite des zu berechnenden Zielorts sofort berechnen:

φ_{z} =

50.1°

+

1/2*(35.7° - 50.1°) = 42.9°
Um das zugehörige

λ_{z}

zu berechnen, lösen wir die Loxodromengleichung nach

λ_{z}

auf:

λ_{z} = λ_{s} + tan (η) \cdot (ln (tan (\frac{φ_{z}}{2} + \frac{π}{4})) - ln (tan (\frac{φ_{s}}{2} + \frac{π}{4})))

Rechts sind alle Größen gegeben

(η

ist ja noch das gleiche wie bei

2 a)

. Damit erhalte ich:

λ_{z} = 1.3615

entsprechend 78.0°

Bei

2 c)

haben wir jetzt

λ_{z} =

37.6°O des neu zu berechnenden Zielortes gegeben und wir brauchen noch

φ_{z}

. Deshalb lösen wir die Loxodromengleichung nach

φ_{z}

auf:

ln (tan (\frac{φ_{z}}{2} + \frac{π}{4})) = ln (tan (\frac{φ_{s}}{2} + \frac{π}{4})) + \frac{λ_{z} - λ_{s}}{tan (η)}

Wenn ich die rechte Seite mal A nenne:

A := ln (tan (\frac{φ_{s}}{2} + \frac{π}{4})) + \frac{λ_{z} - λ_{s}}{tan (η)}

dann erhalte ich

φ_{z} =

2*(arctan(

e^{A}) - \frac{π}{4})

Ich erhalte dann

φ_{z} =

47.2°.

Das wärs also. Falls Du noch Fragen hast, stehe ich noch gern zur Verfügung.

Viele Grüße
Yokozuna

BlubNN aktiv_icon

22:01 Uhr, 08.06.2011

Hey.
Nochmals vielen lieben Dank.
Hab noch einmal beim Skript in die Formelsammlung geguckt...
Ich hab das was da zu Loxodromen stand mal kopiert (siehe Bild). Das ist aber irgendwie was anderes als das was du geschrieben hast...
Liebe Grüße
BlubNN

Yokozuna aktiv_icon

22:16 Uhr, 08.06.2011

Nein, das ist genau das Gleiche. Der Hauptunterschied ist, daß man bei Deiner Formel alle Winkel in Grad einsetzen muß und bei meiner Gleichung alle Winkel im Bogenmaß und das, was bei mir

η

war, ist bei Dir

κ

und

\frac{π}{4}

entspricht 45°. Es ist außerdem das Gleiche, ob ich

η =

arctan(...) oder

tan (η) = . .

. schreibe. Nur bei der Länge fehlt bei Dir der Erdradius R. Damit kriegst Du die Länge in Winkelgraden (bei shärischen Dreiecken werden ja die Seitenlängen auch als Winkel angegeben. Wenn man die Länge in km haben will, muß man mit

R

multiplizieren, dazu aber vorher

s

in Bogenmaß umrechnen.

Viele Grüße
Yokozuna

BlubNN aktiv_icon

22:50 Uhr, 08.06.2011

Ok.Dann versuch ich das mal

=)

Danke, dass du mir so super geholfen hast.
Falls ich noch Fragen habe, melde ich mich nochmal ;-)
Liebe Grüße
BlubNN

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