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Kugelkoordinaten +Verallgemeinerung

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Tags: Vektorraum

alexander82 aktiv_icon

14:38 Uhr, 28.09.2009

Hi,
Ich bin auf der suche nach einer verallgemeinerung für Kugelkoordinaten auf n-Dimensionen.
Würde mich über eine Erklärung oder einen link freuen.

x = r s i n θ c o s φ

x = r s i n θ s i n φ

x = r c o s θ

JensW aktiv_icon

14:54 Uhr, 28.09.2009

x_{1} = r c o s (φ_{1})

x_{2} = r s i n (φ_{1}) c o s (φ_{2})

x_{3} = r s i n (φ_{1}) s i n (φ_{2}) c o s (φ_{3})

...

x_{k} = Π_{j = 1}^{k - 1} s i n (φ_{j}) c o s (φ_{k})

...

x_{k} = Π_{j = 1}^{n} s i n (φ_{j})

φ_{1} \in [0, 2 π]

φ_{k} \in [0, π]

Wie man leicht feststellen kann
haben die so definierten Vektoren alle den Betrag r
(jeweils beim quadratischen addieren hinten starten..)

Es sind also alles Punkte auf der n dim Kugel

Umgekehrt kann man sich leicht ueberzeugen dass jede Punkt so darstellbar ist
Indem man erst denabstand auf r setzt dann den ertsen winke so betimmt das die ertse koordinate stimmt den zweiten so dass die zweite stimmt usw usw

Wenn man es sich leicht machen will kann man hier die

φ_{k} \in [0, 2 π]

benutzen und hinterher festsetlen das das nur weitere Vorzeichen sind die man alle in das

φ_{1} \in [0, 2 π]

integrieren kann..

zu guter letzt moege man sich uebrzeugend dass die Parametrisierung injektiv ist bis auf die randpunkte

Zu guter letzt kann man noch die Parametrisierung nach den einzenle Variablen ableiten und sich uebrzeugen das die koordinaten lokal Orthogonal sind.

alexander82 aktiv_icon

15:16 Uhr, 28.09.2009

Hallo Jens,
Danke für die schnelle Antwort.
Das Problem welches ich habe ist, wie man die Winkel ausrechnet.
Nach meiner bisher 3D definition ist ja

θ = a t a n (\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{z})

Also ein Winkel welcher im Raum steht, und im gegensatz zu

φ

nicht
in einer Ebene Liegt, welche von den Koordinatensysemachsen aufgespannt wird.
Nach deiner Definition wird jeder neue Winker wie

θ

behandelt, und nicht wie

φ = a t a n (\frac{y}{x})

Also ist bei dir

φ_{k} = a t a n (\frac{\sqrt{x_{k + 1}^{2} + x_{k}^{2}}}{x_{k - 1}})

Mit

k = [2 . . . D I M - 1]

Also bei 3D ist k max 2
Und bei für

φ_{1}

φ_{k} = φ_{1} = a t a n (\frac{x_{2}}{x_{1}})

???
Gruß

alexander82 aktiv_icon

15:37 Uhr, 28.09.2009

Okay, Wow danke der text ist richtig gut.
Aber dass die Abblidung eindeutig sein muß ist mir nicht klar.
Dadurch dass ich mehrere koordinaten achsen habe, müßte ich doch punkte doppelt definieren können. Auch nicht auf dem Rand.
Aber das ist garnicht so wichtig für meine zwecke.
Dnake

JensW aktiv_icon

15:47 Uhr, 28.09.2009

"Dadurch dass ich mehrere koordinaten achsen habe, müßte ich doch punkte doppelt definieren können. Auch nicht auf dem Rand."

Nein
Das meine ich nicht natuelrich kannst du verschiedene Kugelkoordinaten haben..

Aber in einem festen Koordinatensystem kann ein Punkt nicht zwei vershciedene koordinatensaetze haben...
wenn du zB diese Kugelkoorinaten nutzen willst um das Volumen dem n dim Kugel zu bestimmen ist es doch wichtig dass du ueber alle Punkte nur einmal integrierst....

alexander82 aktiv_icon

16:01 Uhr, 28.09.2009

Wie ich dich verstanden habe:
Ich gehe von eine 4D kugel aus. Um es meiner Vorstellung zu ermöglichen mit zu machen =)
belege ich die Z-koordinate doppelt. Als ne ganz normal kugel mit x-y-z_1 und z_2.
Wenn ich nun einen Punkt eindeutig bestimmen möchte, muß ich x,y,z_1 und Z_2 angeben.
So wie du dein Definitionsbereich gelegt hast, ist der Punkt nun eindeutig.(Rand außer acht gelassen). Die Punkte liegen zwar jetzt ev. übereinander, aber sie sind doch eindeutig identifizierbar.
Anstatt z_2 koordinate könnte es auch eien Farbe sein, und die Abbildung wäre nur dann nicht eindeutig, wenn zweimal die Selbe farbe am Selben ort auftauchen könnte, und das kann es nicht.
Hab ichs ??
Gruß

JensW aktiv_icon

16:16 Uhr, 28.09.2009

"Wenn ich nun einen Punkt eindeutig bestimmen möchte, muß ich x,y,z_1 und Z_2 angeben. '

In Kugelkoordinaten wuerde ich aber stattdessen

r, φ_{1}, φ_{2}, φ_{3}

angeben

Und bei diesen koordinaten ist es nicht ganz trivial ob ich mit verschiedenen

r, φ_{1}, φ_{2}, φ_{3}

die gleichen

x,y,z_1 und Z_2 erwische oder nicht..

"Um es meiner Vorstellung zu ermöglichen mit zu machen"

Gehen wir mal von dreidim aus

du weis dass man bei Normalen Koordinaten einen Winkel hat um zu enschteiden wie weit man vom Nordpol weggedreht ist...

und einen wie weit man in ost west richttung gedreht ist...

Der Nord sued winkel laueft von 0 bis 180 Grad von Pol zu Pol der
Ost west winkel laeuft von 0 bis 360 Grad...

Wuerde man in die Formel fuer den Nord suedwinkel Winke uebr 180 Grad einsetzen dann ist man durch den Suedpol durchgelaufen und geht auf der anderen Seite wieder zum nordpol zureuck..

Man drueckt damit Punkte aus die man mit dem Ost west winkel schon mal ausgedrueckt hat naemlich die mit 180 Grad mehr drehung... und dann eben einem Nord suedwinkel kleiner als 180 Grad...

Und bei der hoeher dimensionalen Kugel ist das genauso...

Man braucht einen Winkel der die vollen 360 Grad durchlaueft und fuer jeden zsatezlichen reichen 180Grad weil das "uebrschlagen" also der Vorzeichen wechsel schon abgedeckt ist.

alexander82 aktiv_icon

17:13 Uhr, 28.09.2009

Okay.
Ich habe jetzt einen Vektor, der n+1=N-Dimensional sein kann.(PC programm)
V[0]=1;
V[1]=1;
V[2]=1;
.
.
.
V[n]=1;
Dei länge ausrechnen ist kein problem.
Jetzt komme ich zu den Winkeln.

φ_{0} = a t a n (V [1] / V [0])

φ_{1} = a t a n (\frac{\sqrt{V [1]^{2} + V [0]^{2}}}{V [2]}) - > φ_{k} = a t a n (\frac{\sqrt{V [k]^{2} + V [k - 1]^{2}}}{V [k + 1]})

Ich mache mir sogen dass diese Rechunung falsch ist.
Muß nicht in der obingen formel für:
wenn:

∣ ∣ {\vec{L}}_{k} ∣ ∣ = \sqrt{V [k]^{2} + ∣ ∣ {\vec{L}}_{k - 1} ∣ ∣^{2}}

φ_{k} = a t a n (\frac{\sqrt{V [k]^{2} + ∣ ∣ {\vec{L}}_{k - 1} ∣ ∣^{2}}}{V [k + 1]})

mit

∣ ∣ {\vec{L}}_{0} ∣ ∣ = V [0]

k > 0

Also ist

φ_{n - 1} = a t a n (\frac{\sqrt{x_{n - 1}^{2} + x_{n - 2}^{2} + x_{n - 3}^{2} + . . . . + x_{0}^{2}}}{x_{n}})

oder ist es

φ_{n - 1} = a t a n (\frac{\sqrt{x_{n - 1}^{2} + x_{n - 2}^{2}}}{x_{n}})

???

JensW aktiv_icon

18:22 Uhr, 28.09.2009

Ich kann die Haelfte deienr Formle nicht lesen weil sie nur aus Fragezeichen bestehen..

aber bitte

fuer je zwei der Winkel gilt

\frac{x_{k + 1}}{x_{k}} = t a n (φ_{k})

Muss ich verstehen was du das mit Wurzel und Quadraten rumrechnest?

alexander82 aktiv_icon

18:39 Uhr, 28.09.2009

Also so kann das nicht stimmen =(.
Beim Aufmahlen sieht man es.
Ohne Norm kommt man nur bei den ersten beiden oder bei 2D aus.
Is ja auch klar, di nor is da das selbe wie der skalar.

alexander82 aktiv_icon

19:24 Uhr, 28.09.2009

Die Winkel der n-Dimensionalen Kugelkoordinaten entwickeln sich tatsächlich wie ich vermutet habe.
Zumindest ist wickipedia auch der Meinung =). Gott sei dank habe ich das im Nachhinein doch noch gefunden, ich war mir sehr unsicher. Meine Formel:

∣ ∣ {\vec{L}}_{k} ∣ ∣ = \sqrt{V [k]^{2} + ∣ ∣ {\vec{L}}_{k - 1} ∣ ∣^{2}}

φ_{k} = a t a n (\frac{\sqrt{V [k]^{2} + ∣ ∣ {\vec{L}}_{k - 1} ∣ ∣^{2}}}{V [k + 1]})

mit

∣ ∣ {\vec{L}}_{0} ∣ ∣ = V [0]

k > 0

http//en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

Habe das auch ins deutsche wickipedia kopiert und zwei sätze dazu geschrieben.

Gruß

JensW aktiv_icon

19:56 Uhr, 28.09.2009

Ja OK stimmt wohl so..

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