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Kugelkoordinaten & Volumenintegral

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Seralp aktiv_icon

11:49 Uhr, 28.12.2023

Benutzen Sie die aus der Vorlesung bekannten Kugelkoordinaten (r,θ, ϕ) mit x = r sin(θ) cos(ϕ),
y = r sin(θ) sin(ϕ) und z = r cos(θ), wobei θ ∈ [0,π] und ϕ ∈ [0,2π], sowie das Volumenelement
dV = drdθdϕr²sin(θ)

Gegeben sei die Ladungsdichte einer Kugel vom Radius R:

ρ (r) = \frac{h}{\sqrt{z}} + k

wobei h und k Konstante sind. Berechnen Sie die Gesamtladung Q
definiert durch:

Q = \int d V ρ (r)

Also aus dem Integral oben wird dann

\int_{0}^{R} d r \int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 π} d φ * r^{2} s i n (θ) * (\frac{h}{\sqrt{z}} + k)

das

φ

Integral ist gleich

2 π

dann wäre mein nächster Schritt

2 π \int_{0}^{R} d r \int_{0}^{π} d θ * r^{2} s i n (θ) * \frac{h}{\sqrt{z}} + k * r^{2} s i n (θ)

dann das Integral aufsplitten zu

2 π (\int_{0}^{R} d r \int_{0}^{π} d θ * r^{2} s i n (θ) * \frac{h}{\sqrt{z}} + \int_{0}^{R} d r \int_{0}^{π} d θ * k * r^{2} s i n (θ))

für z gilt dann

r * c o s (θ)

dann hintere Integral lässt sich vereinfachen zu

\frac{2 k R^{3}}{3}

und aus dem vorderen Integral kann man noch das

h

rausziehen.
dann hätte ich

h * 2 π + \frac{2 k R^{3}}{3} \int_{0}^{R} d r \int_{0}^{π} d θ r^{2} s i n (θ) \frac{1}{\sqrt{r c o s (θ)}}

Wäre meine Idee da gerade so richtig und hat wer einen Tipp wie es weiter geht

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:50 Uhr, 28.12.2023

hallo
wenn du mal

\sqrt{(} c o s (x))

ableitest ist das Integral leicht! (in dem post hast du wohl mal und + vertippt denn so ist es falsch ?
Gruß ledum.

ledum aktiv_icon

19:50 Uhr, 28.12.2023

hallo
wenn du mal

\sqrt{(} c o s (x))

ableitest ist das Integral leicht! (in dem post hast du wohl mal und + vertippt denn so ist es falsch ?
Gruß ledum.

calc007

15:53 Uhr, 29.12.2023

Hallo
Um mal den nicht wenigen formalen Fehlern ein wenig Ordnung zu verschaffen:

Q = \int

rho*dV

= \int_{r = 0}^{R} [\int_{Θ = 0}^{π} {\int_{φ = 0}^{2 \cdot π} r^{2} \cdot sin (Θ) \cdot (\frac{h}{\sqrt{r \cdot cos (Θ)}} + k) d φ} d Θ]

dr

Ich teile mal der Übersicht halber auf in die zwei Teilintegrale:

Q = Q_{h} + Q_{k}

mit:

Q_{h} = \int_{r = 0}^{R} [\int_{Θ = 0}^{π} {\int_{φ = 0}^{2 \cdot π} r^{2} \cdot sin (Θ) \cdot \frac{h}{\sqrt{r \cdot cos (Θ)}} d φ} d Θ]

= h \cdot \int_{r = 0}^{R} [\int_{Θ = 0}^{π} {\int_{φ = 0}^{2 \cdot π} r^{1,5} \cdot \frac{sin (Θ)}{\sqrt{cos (Θ)}} d φ} d Θ]

= 2 \cdot π \cdot h \cdot \int_{r = 0}^{R} [\int_{Θ = 0}^{π} r^{1,5} \cdot \frac{sin (Θ)}{\sqrt{cos (Θ)}} d Θ]

dr

und

Q_{k} = \int_{r = 0}^{R} [\int_{Θ = 0}^{π} {\int_{φ = 0}^{2 \cdot π} r^{2} \cdot sin (Θ) \cdot (k) d φ} d Θ]

dr

das zweitere ist ja das klassische Kugel-Volumen - und sehr leicht zu lösen zu:

Q_{k} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot k \cdot R^{3}

Probleme wird nur das erstere Integral

Q_{h}

bereiten.
Aber -
da wäre ja erstmal zu klären, wie du eigentlich eine Wurzel aus

z

bilden willst, auf dem nicht unerheblichen Teilgebiet negativer z-Koordinaten...
(Denn:

\sqrt{z} = \sqrt{r \cdot cos (Θ)}

geht nun mal von

\sqrt{- r}

bis

\sqrt{r})

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