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# Kugelkoordinaten integrieren

## Tags: Integration

10:54 Uhr, 11.01.2020

Hallo,

ich habe vermutlich nur mal wieder einen gedanklichen Hänger, aber nun zu der Frage:

Ich Integegriere die Funktion $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ in Kugelkoordinaten:

${\int }_{0}^{2\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\int }_{0}^{\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\int }_{0}^{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right){r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\theta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\phi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

$={\left[\theta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]}_{0}^{\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\cdot {\left[\phi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right]}_{0}^{2\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}\cdot {\int }_{0}^{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right){r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

$=\left[\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-0\right]\cdot \left[2\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}-0\right]\cdot {\int }_{0}^{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right){r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

$=\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\cdot 2\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\cdot {\int }_{0}^{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right){r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

$=2{\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}\cdot {\int }_{0}^{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right){r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

Wo ist mein Fehler? Es gilt doch für radialsymmetrische Funktionen, dass

${\int }_{0}^{2\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\int }_{0}^{\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}{\int }_{0}^{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right){r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\theta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\phi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}=4\pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\cdot {\int }_{0}^{R\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right){r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$

Wieso komme ich nicht auf das gleich Ergebnis?

Vielen Dank vorab

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

11:17 Uhr, 11.01.2020

Hallo
Um wirklich verstehen, begreifen, mitdenken, eingreifen und helfen zu können, müsstest du deine Gedankengänge schon noch ein wenig besser verständlich machen.
Du sprichst
$a\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
von einem Winkel $\theta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}},$ ohne wirklich verständlich zu machen, wie der Winkel $\theta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ in deinem sphärischen Koordinatensystem definiert ist,
Eine Skizze würde helfen.

$b\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
von einem Winkel $\phi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}},$ ohne wirklich verständlich zu machen, wie der Winkel $\phi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ in deinem sphärischen Koordinatensystem definiert ist,
(Aus den Grenzen 0 bis $2\cdot \pi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$ kann man zwar hellseherisch erahnen, dass der um die Zentralachse umlaufen definiert ist, aber mehr als eine Vermutung ist das nicht...)
Eine Skizze würde helfen.

$c\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
von einer "radialsymmetrischen Funktion", ohne wirklich verständlich zu machen, um welche Achse oder wie das radialsymmetrisch sein soll...
Eine Skizze würde helfen.

$d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$
zeigst einen Integralansatz
$\int \int \int f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)\cdot {r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}}^{2}$ *dr $\cdot d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}t\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}h\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\eta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\cdot d\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\phi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}$
ohne wirklich verständlich zu machen, ob oder in wie fern deine Funktion $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ wirklich nur von $r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},$ oder im allgemeinen Fall nicht doch eher eine Funktion aller Variablen, also in Wirklichkeit ein $f\phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\left(r\phantom{\rule{0.12em}{0ex}},\theta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}},\phi \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ ist...
Eine Skizze würde helfen.

11:41 Uhr, 11.01.2020

Es geht mir um Folie 2 folgender Präsentation:
vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Mehrdimensionale_Integration/Folien_Volumenelement_in_Kugelkoordinaten.pdf

Diese Würde ich gerne nachvollziehen. Für beliebige Skizze siehe Wikipedia.

Und wie kann man kenntlicher machen, dass eine Funktion NICHT von einer Variablen abhängt, wenn nicht durch das Nichtnennen im Argument?

11:49 Uhr, 11.01.2020

Ich habe die Lösung:

Habe ein $sin\left(\theta \phantom{\rule{0.12em}{0ex}}\right)$ vergessen, wodurch sich das Problem natürlich löst.