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Kugelkoordinaten/kartesischen Kugelkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Tags: Kartesische Form, Kugelkoordinaten

AlphaBetaGama aktiv_icon

14:28 Uhr, 13.03.2026

Hallo zusammen,

in einer Altklausur sollten eine Gleichung für eine Kugel mit Radius

R

in Kugelkoordinaten in Form von

a)

und in kartesischen Kugelkoordinaten in Form von

B)

angeben.

Keine Ahnung was der Prof hier hören möchte. Fühlt sich zu einfach an, oder ist es ein Trick? :-D)

ich habe es mal so gelöst. Passt es so, wie der Prof es haben will?

Eine Kugel ist in Kugelkoordinaten

r (φ, θ)

doch einfach

R,

oder?

Ich danke euch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

mathadvisor aktiv_icon

15:20 Uhr, 13.03.2026

Was heißt denn "in Form von a) und ... in Form von B)"? Wie lautet die Aufgabenstellung im Original?
Deine kartesische Form liefert nur eine Halbkugel.

AlphaBetaGama aktiv_icon

15:37 Uhr, 13.03.2026

Danke für Deine Antwort.

Geben Sie die Gleichung für eine Kugel mit Radius

R

in Kugelkoordinaten in der Form

r (φ, θ) = . .

. an

Geben Sie die Gleichung für eine Kugel mit Radius

R

in kartesischen Koordinaten in der Form

z (x, y) = . .

. an

So lauten die Fragen.

Randolph Esser aktiv_icon

20:44 Uhr, 13.03.2026

Hallo AlphaBetaGamma,

Für die Kugel mit Radius

R

als Punkt- und Teilmenge des

ℝ^{3}

gilt schonmal

K := {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℝ^{3} : \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \leq R} \subset ℝ^{3}

(kartesische Koordinaten)

bzw.

K := {(\begin{matrix} cos (φ) sin (θ) r \\ sin (φ) sin (θ) r \\ cos (θ) r \end{matrix}) \in ℝ^{3} : φ \in [0,2 π [, θ \in [0, π], r \in [0, R]} \subset ℝ^{3}

(Kugelkoordinaten).

Die geforderten "Gleichungen" scheinen so gesehen etwas wirsch.

Man könnte

z (x, y) \in [- \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}}, \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}}]

für alle

x, y \in ℝ

mit

\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq R

bzw.

r (φ, θ) \in [0, R]

für alle

φ \in [0,2 π [, θ \in [0, π]

angeben.

Kann es sein, dass nur der Rand der Kugel gemeint ist ?

Dann wäre

z (x, y) = \pm \sqrt{R^{2} - x^{2} - y^{2}}

für alle

x, y \in ℝ

mit

\sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq R

bzw.

r (φ, θ) = R

für alle

φ \in [0,2 π [, θ \in [0, π]

mein Tipp...

AlphaBetaGama aktiv_icon

02:21 Uhr, 15.03.2026

Hallo Randolph Esser,

vielen Dank für die Antwort. Also in der Altklausur stand Gleichung für eine Kugel mit Radius

R

in Kugelkoordinaten in der Form

r (φ, θ) = . .

.

Dürfte eine einfache Gleichung sein, was der Prof bei einem Punkt hören will :-D) Bi mit nicht sicher, was er hier hören will. Für die zweite Gleichung gibts immerhin 2 Punkte.

In der Formelsammlung der Klausur sind folgende Formeln angefügt für eine Kugel:

r =

Wurzel

(x^{2} + y^{2} + z^{2})

z = r \cdot cos

mathadvisor aktiv_icon

12:23 Uhr, 15.03.2026

Wenn Du wissen willst, was der Prof hören will, wäre es das einfachste ihn zu fragen.
Wenn Du Dich das nicht traust, dann einen seiner Mitarbeiter. Woher sollen wir wissen, was er hören will?
Mathematisch ist die Frage doch lange geklärt.

calc007

17:13 Uhr, 15.03.2026

Hallo
Wenn ich ergänzen und erläutern dürfte:
So furchtbar erklärsam ist die Aufgabenstellung ja auch wahrlich nicht.

1 .)

macht es sicherlich keinen Sinn, von irgendwelchen Polar-Winkeln

φ

und

θ

zu faseln, ohne sich selbst und allen Kommunikationspartnern zu erklären, wie und was die zu verstehen sind. Typischerweise wird man hierzu eine Skizze nutzen, wie etwa

\to

siehe Anhang.
Ohne Skizze und klarer Verständigung, wie irgendwelche Zusammenhänge zwischen irgendwelchen karthesischen Bezeichnern und polaren Bezeichnern besteht, bleiben doch allen Missverständnissen Tür und Tor weit weit offen.
Die Bezeichner für die Koordinaten sind ja bei weitem nicht universal. Nicht immer nutzt man xyz für karthesische Koordinaten, nicht immer

φ θ

für irgendwelche Winkel.
Stell dir vor, ich spräche von

α

und

χ -

ohne eine Skizze (oder sonstige Definition) hierzu, wer wollte verstehen, was das sein soll ??

2 .)

Du hast nachträglich von "einem Punkt" gesprochen.
Auch ich mag hieraus vermuten, dass dann wohl der naheliegendste Primitiv-Fall Kugelmittelpunkt = Koordinaten-Mittelpunkt gemeint sein könnte.
Und (genau) dann gilt eben:

r (φ, θ) = R

(konstant, unabhängig von irgendwelchen Winkeln)

Aber da sind wir alle am spekulieren. Aus dem Wortlaut der recht mäßigen Aufgabenstellung jedenfalls geht das nicht wirklich hervor.
Wer wollte hieraus ausschließen, dass vielleicht eine Kugel versetzt im Raum zu beschreiben wäre? Dann werden die Dinge schnell wesentlich umfangreicher.
Aber hierüber Aufwand zu treiben werden wir (ich) wohl erst ernsthafter in Erwägung ziehen, wenn wir besser verstehen, was du oder dein Professor wirklich will...

Randolph Esser aktiv_icon

03:43 Uhr, 21.03.2026

x = 1

Mit

r (φ, θ)

könnte auch eine Abbildung der Art

r : [0, 2 π) \times [0, π] \to ℝ^{3}, (φ, θ) \mapsto (\begin{matrix} R sin (θ) cos (φ) \\ R sin (θ) sin (φ) \\ R cos (θ) \end{matrix})

gemeint sein.

Falls Du die Lösung noch erfahren solltest,

teile sie uns doch bitte nochmal kurz mit...

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