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Kugeln auf Urnen verteilen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik, Kugeln, Urnen

Stevy94 aktiv_icon

23:44 Uhr, 13.10.2017

Folgende Aufgaben:

K

Kugeln sollen auf

n

Urnen verteilt werden, sodass Urne 1 eine Kugel enthält, Urne 2 zwei kugeln und Urne

n n

kugeln.
Dabei sollen alle Kugeln verwendet werden. Wie ist die Warscheinlichkeit?

Somit kann es bei 2 Urnen nur 3 Kugeln, bei 3 Urnen 6 Kugeln und bei 4 Urnen

10

Kugeln geben. Die Anzahl der Kugeln ist somit

n!

.
Nun ergibt sich die Warscheinlichkeit ja etwa bei 2 Urnen durch:

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot

die Anzahl der Kombinationen.
Das wären in diesem Fall ja nur

3,

nämlich

122,212

und

221

(Zu lesen als: die erste Kugel in die erste Urne, die zweite in

...)

.
Auf

n

und

k

abstrahiert ergäbe sich:

{(\frac{1}{n})}^{k}

für die Warscheinlichkeit, doch wie komme ich auf die Anzahl der Kombinationen?
Mit

k

über

n

habe ich ja auch die Fälle drin, die nicht passen würden, oder?
Bei 3 über 2 komme ich damit noch auf die 3 Möglichkeiten, aber bei 6 über 3 bin ich nicht sicher, ob das noch passt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Roman-22

00:08 Uhr, 14.10.2017

>

Wie ist die Warscheinlichkeit?
??? Die Wkt für welches Ereignis??

Die Anzahl der Kugeln ist natürlich NICHT

n!

Oder bist du wirklich der Meinung, dass

4!

gleich

10

ist? Denk an die Summenformel für arithmetische Reihen oder an die Anekdote mit der Addition aller Zahlen von 1 bis

100,

die man gerne C.F.Gauß andichtet.

Stevy94 aktiv_icon

11:59 Uhr, 14.10.2017

Das Ereignis lautet: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in Urne Ui genau ki Kugeln liegen, wobei hier

k 1

+...+kn

= k

gelten soll.
Ohja stimmt, das hab ich durcheinander gebracht, bei der Fakultät werden die Glieder ja multipliziert und nicht addiert.

Roman-22

12:03 Uhr, 14.10.2017

>

Das Ereignis lautet: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in Urne Ui genau ki Kugeln liegen, wobei hier

k 1

+...+kn

= k

gelten soll.
Das ist zwar nicht das Ereignis, aber wenigstens die Aufgabenstellung.
Und was hat deine ursprüngliche Frage (die, mit "Urne

i

enthält

i

Kugeln) damit zu tun?

Stevy94 aktiv_icon

12:13 Uhr, 14.10.2017

Na wenn die Urne

i

in diesem Fall

i

Kugeln enthalten soll, enthält Urne 1 eine Kugel, Urne 2 zwei Kugeln

... .

.
Und am Ende ergeben k1+k2+ki=k.
Sodann kann es ja bei 2 Urnen nur 3 Kugeln und bei 3 Urnen nur 6 Kugeln geben, damit das Ereignis überhaupt eintreten kann.

ledum aktiv_icon

00:33 Uhr, 16.10.2017

Hallo
schreib mal die exakte Aufgabe, ohne deine Zusatzüberlegungen. Du hast

n

Urnen und

k

Kugeln?, die Urnen sind nummeriert?
Gruß ledum

anonymous

07:50 Uhr, 16.10.2017

Auch ich stimme dafür, dass du erst mal in klare Worte fasst, wie die Aufgabe zu verstehen ist.

Eine Vermutung, die schon anklang, aber immer wieder verholterdipoltert wurde:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Urne mit der Nummer

i

genau

i

Kugeln liegen.
Also:
in Urne 1 genau 1 Kugel,
in Urne 2 genau 2 Kugeln,

. .

.
in Urne

i

genau

i

Kugeln,
in Urne

n

genau

n

Kugeln.

Dann wäre

k = 1 + 2 + ... + n = \sum_{i = 1}^{n} i

Und wir müssten der Aufgabe entnehmen können, dass wir die Kugeln nicht von Hand verteilen, sondern die Verteilung ein Zufallsexperiment ist. Also dass es zufällig ist, welche Kugel und wieviel davon in welcher Urne landen.

Stevy94 aktiv_icon

12:10 Uhr, 16.10.2017

Die Aufgabe:
Es werden

k

Kugeln in

n

verschiedene Urnen

U 1,

. . . , Un zuf ̈allig verteilt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in Urne Ui genau ki Kugeln liegen, wobei hier

k 1

+...+kn

= k

gelten soll.

anonymous

12:42 Uhr, 16.10.2017

Hallo nochmals.
Du merkst schon: Kaum fragen 3 Leute ungefähr 5-mal nach, schon klärt sich so allmählich, was eigentlich gemeint ist.
Also, demnach war das mit
in Urne 1 genau 1 Kugel
in Urne 2 genau 2 Kugeln...
Unsinn, Missverständnis, Irreleitung,

und demnach wäre
in Urne 1 genau

k_{1}

Kugeln,
in Urne 2 genau

k_{2}

Kugeln,

. .

.
in Urne

n

genau

k_{n}

Kugeln.

Hurra, jetzt haben wir schon mal eine vernünftige Aufgabe.

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