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Kugelschicht einer Kugel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Kugelschicht, Mantelfläche, Rotationskörper

+ PARANOIA +

15:44 Uhr, 28.11.2011

Aufgabe:
Die Form eines Woks kann näherungsweise durch die Mantelfläche einer Kugelschicht einer Kugel mit dem Radius

r = 25

cm beschrieben werden. Die Kugelschicht hat eine Höhe von 9 cm und einen oberen Durchmesser von

40

cm.
Berechnen Sie das Fassungsvermögen des Woks.

Ich finde hier nicht den Ansatz. Zuerst wollte ich es über die Formel in meinem Tafelwerk rechnen:

V = Π \cdot \frac{h}{6} \cdot (3 \cdot a^{2} + 3 \cdot b^{2} + h^{2})

für eine Kugelschicht

Allerdings ist der untere Durchmesser

b

nicht gegeben. Aber es geht hier offensichtlich auch nicht um eine exakte Lösung, sondern eine näherungsweise Berechnung. Ich habe keine Ahnung wie das gehen soll. Die Aufgabe befindet sich im Buch unter dem Thema Rotationskörper.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

DmitriJakov aktiv_icon

15:49 Uhr, 28.11.2011

Das ist eine Kugelkalotte: de.wikipedia.org/wiki/Kugelkalotte

V_{K S} = \frac{h^{2} \cdot π}{3} \cdot (3 r - h)

+ PARANOIA +

15:53 Uhr, 28.11.2011

Leider nicht. Die Abbildung daneben zeigt eine Kugelschicht, die keine geschlossene Kuppel hat, sondern so aussieht:
http//de.wikipedia.org/wiki/Kugelschicht

DmitriJakov aktiv_icon

16:00 Uhr, 28.11.2011

ok, dann brauchst Du den Zusammenhang zwischen

R, r_{1}, r_{2}

und

h,

der in diesem Artikel steht:

R^{2} = r_{1}^{2} + {(\frac{r_{1}^{2} - r_{2}^{2} - h^{2}}{2 h})}^{2}

das nun nach

r_{2}

auflösen und in Deine Formel einsetzen.

+ PARANOIA +

16:26 Uhr, 28.11.2011

Okay, habe nun für

r_{2} = \pm 7

errechnet und eingesetzt ergibt sich damit

V = 6729,29

cm^3
Das ist wahrscheinlich auch richtig, aber eigentlich sollte es näherungsweise berechnet werden. Ja, ich weiß, warum so kompliziert, wenns auch einfach geht. Aber wie berechnet man es näherungsweise? Anhand des Ergebnisses oben könnte man die Näherung gut prüfen. In den Aufgaben zuvor war es so, dass man anhand von Graphenverläufen oder Messdaten etc.

z . B

. Ober-/Untersumme+Mittelwert bilden musste oder, dass man nur anhand vom Graphenverlauf grob Geraden mit ihrer Steigung abschnittsweise ausdenkt und als Rotationskörper berechnet.

DmitriJakov aktiv_icon

16:31 Uhr, 28.11.2011

Näherungsweise wäre ein Kegelstumpf das ähnlichste. Aber auch hier bräuchte man erstmal den unteren Radius.

Addendum: Man könnte auch ein Trapez konstruieren und dieses dann rotieren lassen.

+ PARANOIA +

17:30 Uhr, 28.11.2011

Mit dem Kreiskegelstrumpf kriege ich als Lösung

V = 5551,19

cm^3. Mit dem Rotationskörper um eine gedachte x-Achse kriege ich dasselbe raus:

Π \cdot \int_{0}^{9} {(\frac{13}{9} \cdot x + 7)}^{2} d x = 5551,19

cm^3
Da die Aufgabe unter dem Thema Rotationskörper steht, wollten die wohl das Integral für den Rotationskörper anstatt den einfacheren Kegelstumpf.

Danke für die Hilfe!

DmitriJakov aktiv_icon

17:54 Uhr, 28.11.2011

Keine Ursache

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