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Kugelsegment-Volumen mit Cavalieri

Schüler

Tags: Cavalieri, formel herleiten, Kugelsegment

 
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dareios1603

dareios1603 aktiv_icon

11:26 Uhr, 03.06.2017

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Hallo miteinander

Im Rahmen einer Gruppenarbeit befassen wir uns im Moment mit der Stereometrie (hier: Kugeln). Soweit verstehe ich auch alles. Ein Dorn im Auge ist mir jedoch die Herleitung zur Formel für das Kugelsegment, das man mit dem Prinzip von Cavalieri herleiten soll.

Die Formel lautet:
V(Kugelsegment) = V(Kreiszylinder) - V(Kreiskegelstumpf)
=r2⋅π⋅h-13⋅π⋅h⋅(r2+r⋅(r-h)+(r-h)2)
=π3⋅h2⋅(3⋅r-h)

So weit, so gut. Jedoch verstehe ich nicht, wie man hier das Prinzip von Cavalieri anwenden soll... Es besagt ja, dass Körper, die auf derselben Höhe im Querschnitt dieselbe Fläche haben dasselbe Volumen aufweisen. Ich verstehe einfach nicht, wie ein Kreissegment auf derselben Höhe dieselbe Fläche wie ein Kreiszylinder - ein Kreiskegelstumpf haben kann.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand am besten anhand einer Skizze erklären könnte.
MfG, Dareios1603

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ledum

ledum aktiv_icon

15:48 Uhr, 03.06.2017

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Hallo
zeichne doch mal den Querschnitt auf, nebeneinander Halbkreis Radius R und Zylinder mit Radius R, Höhe R und dem Kegel, mit Spitze im Grundpreis und Höhe R und oben abschliessend mit dem Zylinder,
jetzt berechne in irgendeiner Höhe die Fläche des Kreisrings, den der Kegel aus dem Zylinder ausschneidet und die Fläche der Kugel in derselben Höhe.
Gruß ledum
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