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Kummulierte Wahrscheinlichkeit

Schüler Förderschule,

Tags: Wahrscheinlichkeit

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21:31 Uhr, 06.02.2021

Moin,

eine kurze Frage, ich hoffe es ist verständlich:
Angenommen zwei Personen sind sich beide unabhängig voneinander zu

90 %

sicher, dass Antwort A korrekt ist und nicht B.
Das ganze ließe sich natürlich auch mit anderen Zahlen machen...

Müsste sich dann nicht die Wahrscheinlichkeit dafür erhöhen,dass A korrekt ist?
Allein schon von Menschenverstand her...wenn

100

Menschen unabhängig voneinander dasselbe denken, müsste die Wahrscheinlichkeit doch steigen, dass es stimmt?!

Gibt es eine Formel oder ist es überhaupt möglich auszurechnen?
Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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21:38 Uhr, 06.02.2021

Hallo,

so wie du es formuliert hast ist die Lage komplizierter. Die eigentliche Frage ist erst einmal: Wenn eine bestimmte Person zu 90% sicher ist, dass A korrekt ist, wie wahrscheinlich ist es, dass die Antwort tatsächlich korrekt ist?
Ohne diese Angabe kann man eigentlich keine Aussage treffen-meiner Meinung nach.

Gruß
pivot

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21:54 Uhr, 06.02.2021

Ja,das habe ich mir auch gedacht.

Es gibt ja eigentlich beide Möglichkeiten. Entweder ist die WK gegeben oder nicht.
In der realen Welt ist es ja aber so, dass man die WK nicht genau weiß.

Ich denke man stellt sich oft solche Frage wie: wenn sich

X %

der Leute denken dass

Y

Z 90 %

zutrifft, wie wahrscheinlich ist es dann?

Ich könnte mir schon eine Formel vorstellen, die mit erhöhter Anzahl

n

und erhöhter WK

p

auf 1 bzw 0 zugeht...

Aber vlt hat jmn eine Idee?

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22:14 Uhr, 06.02.2021

Es stellt sich folgendes Problem. Annahme: Die W´keit das die Antwort A korrekt ist, gegeben die Person ist sich zu 90% sicher, ist

5 %

. Diese A-priori-Wahrscheinlichkeit (Stichwort) ist meiner Meinung notwendig.

Diese bedingte Wahrscheinlichkeit ist relativ klein. Hier wäre es keine gute Strategie der Einschätzung zu folgen.
Es gibt hier aber einen Ausweg. Man folgt der gegenteiligen Einschätzung.
Man sagt: Wenn die Person sagt, dass die Antwort zu 90% korrekt ist, dann weiß man, dass die Antwort A zu 95% inkorrekt ist. Und man wählt dann z.B. die Antwort B.

N8eule

23:04 Uhr, 06.02.2021

Hallo
Wir alle gehen wohl davon aus, dass deine Problemstellung nur mit entweder Antwort A oder Antwort

B

beantwortbar ist

(z . B

. 'ja' oder 'nein').

Wenn wir tatsächlich wüssten, dass die Expertise der zwei befragten Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von

(z . B .) 90 %

zuträfe,
dann kannst du einen Ereignisbaum aufzeichnen:

1 .)

erste Person gibt eine Antwort und liegt damit richtig:

p = 0.9

1.1)

zweite Person gibt die selbe Antwort und liegt damit auch richtig:

p = 0.9 \cdot 0.9 = 0.81

1.2)

zweite Person gibt die gegenteilige Antwort und liegt damit falsch:

p = 0.9 \cdot 0.1 = 0.09

2 .)

erste Person gibt eine Antwort und liegt damit falsch:

p = 0.1

2.1)

zweite Person gibt die selbe Antwort und liegt damit auch falsch:

p = 0.1 \cdot 0.1 = 0.01

2.2)

zweite Person gibt die gegenteilige Antwort und liegt damit richtig:

p = 0.1 \cdot 0.9 = 0.09

Wir wissen aber, dass die Antwort der beiden 'Experten' übereinstimmt.
Dann haben wir also gemäß bedingter Wahrscheinlichkeit nur noch die Fälle:

1.1)

oder

2.1)

Im Fall

1.1

liegen sie beide richtig:

p = 0.81

Im Fall

2.1

liegen sie beide falsch:

p = 0.01

Wahrscheinlichkeit, dass ihre Auskunft richtig ist:
Wahrscheinlichkeit = günstige Fälle / Summe der Fälle

= \frac{0,81}{0,81 + 0,01} = 0,9878

Aber !
Auch ich zweifle, dass je bekannt sein kann, wie sicher man sich selbst oder Experten glauben und Vertrauen schenken darf.
Jeder Mensch ist Kind seiner Gesellschaft und seiner Weltanschauung.
Hätte man zu Zeiten Galileo Galileis gefragt, ob die Sonne um die Erde kreist, eine überwältigende Mehrheit hätte dem zugestimmt. Nicht nur das, die selbe Mehrheit wäre sich sicherlich auch höchster Wahrscheinlichkeit ihrer Überzeugung sicher gewesen.
Was diese Rechnung wohl ergeben hätte?

Roman-22

14:34 Uhr, 07.02.2021

>

Gibt es eine Formel oder ist es überhaupt möglich auszurechnen?
Nein!
Der Input für diese Formel wäre eine rein subjektive Wahrscheinlichkeit. Jemand glaubt, dass seine Meinung zu

90 %

richtig ist,

10

Personen glauben es gleichermaßen.
Der Output soll aber eine objektive WKT sein. Du möchtest wissen, wie wahrscheinlich es nun "wirklich" ist, dass eine Aussage stimmt. Das kann logischerweise nicht funktionieren. Dabei ist es auch unerheblich, wie viele Menschen das Gleiche glauben.

Für den Einzelnen wird kann es aber durchaus einen Einfluss seiner subjektive empfundenen/geglaubten WKT haben, wenn er von Hundert anderen "bestätigt" wird - so funktionieren ja die gefährlichen Blasen in unseren sozialen Netzwerken.

Deine angenommenen

90 %

werden wohl meist auch nicht stimmen. Wenn heute jemand glaubt, dass die Menschheit durch Chem-Trails vergiftet wird oder dass das Corona-Virus von den Nazis die noch immmer auf der Rückseite des Mondes leben auf die Erde geschickt wurde, dann ist er nicht nur zu

90 %

davon überzeugt - für den ist das 200%ige Wahrheit :-)

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14:41 Uhr, 07.02.2021

vgl.
de.wikipedia.org/wiki/Kollektive_Intelligenz

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18:45 Uhr, 07.02.2021

Ok danke,

ich meine jetzt auch nicht dass dadurch die Antwort dadurch wahrscheinlicher wahr wird und ich rede auch nicht von einer objektiven WK, sondern eher wie viel Glauben man einer Aussage schenken darf wenn

X %

sich zu

Y %

bei einer Sache sicher sind, im gleichen Sinne in dem Mann einem Experten zu

90 %

vertraut, der sich eben zu

90 %

sicher ist (bzw. die WK als

0,9

schätzt).

Danke für die Antworten, aber dennoch bleibt für mich iwie die Frage...

(Muss den Wiki-Artikel zur Kollektiven Intelligenz noch lesen)

HAL9000

12:47 Uhr, 09.02.2021

Ich gehe mal von einem Bayesschen Modell aus mit folgenden Ereignissen:

A

... Antwort A stimmt

C_{k}

... Person

k

meint, dass Antwort A stimmt (für

k = 1, 2

)

Für eine vollständige Betrachtung benötigt man zwei Wahrscheinlichkeiten

a) Die dass eine Person sicher ist, dass Antwort A stimmt, wenn sie wirklich stimmt. Den Text oben könnte man dahingehend als

P (C_{k} ∣ A) = 0.9

interpretieren.

b) Die dass eine Person sicher ist, dass Antwort A nicht stimmt, wenn sie wirklich nicht stimmt. Diese Angabe fehlt - wir könnten annehmen, dass auch hier

P (C_{k}^{c} ∣ A^{c}) = 0.9

gemeint ist.

Was man im Bayeschen Modell außerdem noch benötigt, ist die a-priori-Wahrscheinlichkeit für

A

. Ok, die setzen wir zunächst mal unbekannt an als

P (A) = p

und demzufolge

P (A^{c}) = 1 - p

mit irgendeinem

p \in (0, 1)

, z.B.

p = \frac{1}{2}

.

Wir wissen außerdem noch, dass

C_{1}, C_{2}

bedingt (!) unabhängig sind jeweils unter Bedingung

A

oder auch Bedingung

A^{c}

. Das hat zur Folge

P (C_{1} \cap C_{2} ∣ A) = P (C_{1} ∣ A) \cdot P (C_{2} ∣ A) = 0 . 9^{2} = 0.81

P (C_{1} \cap C_{2} ∣ A^{c}) = P (C_{1} ∣ A^{c}) \cdot P (C_{2} ∣ A^{c}) = 0 . 1^{2} = 0.01

Nach Bayesscher Formel folgt dann

P (A ∣ C_{1} \cap C_{2}) = \frac{P (A) \cdot P (C_{1} \cap C_{2} ∣ A)}{P (C_{1} \cap C_{2})} = \frac{0.81 p}{0.81 p + 0.01 (1 - p)} = \frac{0.81 p}{0.01 + 0.8 p}

,

im Fall

p = 0.5

wäre diese a-posteriori-Wahrscheinlichkeit dann

\frac{81}{82} \approx 0.9878

.

P.S.: Ich gebe unumwunden zu, dass ich die vage Beschreibung des Sachverhalts jetzt einfach mal in das Bayes-Schema gepresst habe, weil es so auch wirklich greifbar ist und evtl. (!) ja auch wirklich so gemeint sein könnte. Sicher bin ich mir im letztem Punkt allerdings nicht.

EDIT: Upps, hatte irgendwie einen blinden Fleck, und habe den letzten (mathematisch sehr ähnlichen) Beitrag von N8eule total übersehen. Mea culpa!

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