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Kursberechnung Rakete

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: Berechnung mit, Vektor

DiamantGold aktiv_icon

13:47 Uhr, 08.06.2020

Ein Flugzeug befindet sich in einem dreidimensionalen Raum. Es fliegt auf einer Geraden mit den Punkten

1,1,1

außerdem

2,2,2

und

3,3,3

. Seine Geschwindigkeit beträgt

1000

km/h. Eine Rakete wird vom Punkt

- 20, - 20, - 20

abgefeuert. Sie fliegt mit einer Geschwindigkeit von

2000

km/h. Welchen Kurs muss sie haben um das Flugzeug zu treffen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

N8eule

15:53 Uhr, 08.06.2020

Hallo

1 .)

Bist du sicher, dass du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast?

2 .)

Wenn man sehr viel Überblick hat, dann kann man die Aufgabe ohne Rechnen beantworten.

3 .)

Aber Schritt für Schritt...
Du sprichst schon Vektorrechnung an.
Also, wie lautet der Vektor, auf dem das Flugzeug fliegt?

HAL9000

16:28 Uhr, 08.06.2020

Angesichts der "Eindimensionalität" der Positionsangaben, und der daraus folgenden extremen Einfachheit der Antwort, vermute ich auch einen Abschreibefehler. Aber manchmal gibt es ja solche Geschenke. ;-)

DiamantGold aktiv_icon

12:50 Uhr, 09.06.2020

Hallo, ist es denn möglich wenn das Flugzeug auf einer Geraden fliegt mit gleich bleibender Geschwindigkeit und eine Rakete die an einem Punkt abgefeuert wird mit ebenfalls konstanter Geschwindigkeit, eine verallgemeinerre Form aufzustellen, die die beiden Geschwindigkeiten berücksichtigt und mit der man den Kurs der Rakete berechnen kann?

N8eule

13:00 Uhr, 09.06.2020

ja, mach doch mal...

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16:26 Uhr, 09.06.2020

Wie sähe denn die verallgemeinerre Form aus? Danke

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16:26 Uhr, 09.06.2020

Wie sähe denn die verallgemeinerre Form aus? Danke

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16:30 Uhr, 09.06.2020

Bin mir bei dem Vektor nicht sicher. Danke

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18:31 Uhr, 09.06.2020

Bin mir nicht sicher wie er lautet. Könntest mir ja helfen.

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18:31 Uhr, 09.06.2020

Bin mir nicht sicher wie er lautet. Könntest mir ja helfen.

anonymous

22:49 Uhr, 09.06.2020

Hallo Diamantcolt, alter Pyromane...

Für die Rakete nimm

S_{R} = (\begin{matrix} - 20 \\ - 20 \\ - 20 \end{matrix})

als Aufpunkt ( Starpunkt der Rakete im

R^{3}),

die Maßeinheit sei km.
Dann ist

R_{R} = (\begin{matrix} \frac{2000}{\sqrt{3}} \\ \frac{2000}{\sqrt{3}} \\ \frac{2000}{\sqrt{3}} \end{matrix})

ein moderater Richtungsvektor, sodass

P_{R} (t) = S_{R} + t \cdot R_{R}

die Funktion für die Position der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit

t

in Stunden ist.

Analog kann man für das Flugzeug

P_{F} (t) = S_{F} + t \cdot R_{F}

mit

S_{F} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

(von mir vermutete bzw. gewählte Position zum Zeitpunkt

t = 0,

weil Aufgabenstellung unklar)

und

R_{F} = (\begin{matrix} \frac{1000}{\sqrt{3}} \\ \frac{1000}{\sqrt{3}} \\ \frac{1000}{\sqrt{3}} \end{matrix})

definieren.

Nun zur Kollision:

Wann ?

S_{R} + t \cdot R_{R} = S_{F} + t \cdot R_{F} \Rightarrow t \cdot (R_{R} - R_{F}) = S_{F} - S_{R} \Rightarrow

t \cdot (\begin{matrix} \frac{1000}{\sqrt{3}} \\ \frac{1000}{\sqrt{3}} \\ \frac{1000}{\sqrt{3}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}) \Rightarrow

t = \frac{\sqrt{3}}{50} \approx 0,0346410162,

also ca.

0,03464

Stunden nach dem Start, was ca.

2,07846

Minuten oder auch ca.

124,70766

Sekunden entspricht.

Wo ?

Im Punkt

K = (\begin{matrix} 20 \\ 20 \\ 20 \end{matrix}),

denn

20 = \frac{\sqrt{3}}{50} \cdot \frac{1000}{\sqrt{3}}

.

Bem.: Flugzeugen mit Raketen nachzustellen,
ist moralisch zumindest bedenklich,
daher hier noch was Friedliches:
Die Schneckenaufgabe aus meiner Studienzeit -
das hier erinnert mich irgendwie daran
(obwohl es eigentlich was ganz anderes ist)...

Screenshot_20200609-224456_Adobe Acrobat

N8eule

01:03 Uhr, 10.06.2020

Die Aufgabe ist so einfach, dass man nur zu leicht stolpert und doch Dinge vorweg nimmt, die nicht wirklich beschrieben sind.

Gefragt war der Vektor, auf dem das Flugzeug fliegt.
Viele Worte und doch keine Antwort...

Mach dir klar:
Der Aufgabentext beschreibt doch, dass das Flugzeug mal im Punkt

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

ist,
und dann im Punkt

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

Wie kommt es denn von

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

nach

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

?

Dann beschreibt der Aufgabentext, dass das Flugzeug auch mal im Punkt

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

sei.

Wie kommt es denn von

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

nach

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

?

Oder
wie kommt es denn von

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

nach

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})

anonymous

14:47 Uhr, 10.06.2020

Nachteule, ich habe die Aufgabe durch die Angabe
von

R_{R}

und

R_{F}

doch sehr wohl beantwortet,
ich habe sie aber eben nicht nur beantwortet,
da ja im Vorfeld auch noch ein wenig Interesse
am Ablauf allgemein geäußert wurde...
Und "den Vektor, auf dem des Flugzeug fliegt" gibt es nicht,
sondern unendlich viele

- R_{R}

und

R_{F}

sind zwei davon...

Die Menge

T := {(\begin{matrix} - 20 \\ - 20 \\ - 20 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})}

paarweise verschiedener Tripel ist Teilmenge genau der Geraden

G := {P \in R^{3} : P = q \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

für ein

q \in R}

und jedes Element von

G_{+} := {P \in R^{3} : P = q \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

für ein

q \in R_{> 0}}

taugt als Antwort für die Aufgabe.

Wem das zuviel ist, der schreibe

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

in sein Schulheft...

DiamantGold aktiv_icon

16:58 Uhr, 10.06.2020

Danke für die Antwort.

DiamantGold aktiv_icon

17:07 Uhr, 10.06.2020

Und wie berechnet man dann die Richtung des Vektors?

DiamantGold aktiv_icon

17:07 Uhr, 10.06.2020

Und wie berechnet man dann die Richtung des Vektors?

anonymous

18:04 Uhr, 10.06.2020

Gar nicht, man berechnet nämlich einen Vektor und der hat dann
die entsprechende Richtung. Nimm einfach die ganz zuletzt
von mir gezeigte Rechnung. Das Flugzeug durchfliegt ja
die beiden Punkte, deren Differenz ich dort berechne -
das Ergebnis hat dann die geeignete Richtung.
Die sieht man, wenn man im Koordinatensystem
eine Strecke von der Null zu dem Punkt, der durch
die Koordinaten des Vektors bestimmt ist, zeichnet
und diese im Punkt noch mit einer kleinen Pfeilspitze versieht.
Die Geometer (Leute, die Geometrie treiben) nennen
das dann Ortsvektor.
Man kann also sagen, dass man ein Tripel,

z . B

(\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 7 \end{matrix})

immer sowohl als Punkt, als auch als Ortsvektor interpretieren
kann. Beim Rechnen ist das egal. Ein Tipp noch:
Die ersten Gehversuche mit Vektoren sollte man doch
in der zweidimensionalen Ebene absolvieren,
auch wenn es grundsätzlich keinen Unterschied zum

R^{n}

gibt.
Zeichne bzw. skizziere doch mal deine Aufgabe in der Ebene,
indem du einfach die dritte Dimension weglässt !

HAL9000

18:52 Uhr, 10.06.2020

Nochmal mit anderen Worten: Die Gerade, auf der sich das Flugzeug bewegt, ist in Parameterdarstellung

(1, 1, 1) \cdot s

mit

s \in ℝ

.

Der Abschusspunkt der Rakete liegt aber zufälligerweise (?!) auch auf dieser Geraden, nämlich für Parameter

s = - 20

. Das bedeutet, dass die Rakete ebenfalls mit Richtungsvektor

(1, 1, 1)

abgeschossen werden muss, damit sie das Flugzeug treffen kann. D.h., wirklich alles spielt sich hier auf dieser ein- und derselben Geraden ab, weshalb meine obige Anmerkung "Eindimensionalität" wirklich im wahrsten Sinne des Wortes gemeint ist. Und das war's, mehr (wie etwa Flugzeit der Rakete bis zum Ziel, etc.) ist hier bisher nicht gefragt.

Ich hab diese Aufgabe (sinngemäß) auch schon mit deutlich interessanteren Anfangspositionen und -vektoren gesehen, d.h., wo man WIRKLICH rechnen muss. Daher mein obige Vermutung, dass hier irgendwo bei den Werten ein Abschreibfehler vorliegt.

anonymous

19:14 Uhr, 10.06.2020

Ich finde, es gehört noch ein wenig Einstein dazu -
Wurmlöcher, wo man Gott (Jehova) begegnet und

100

Jahre
später wieder rauskommt und an einem Flugzeugwrack
mit der gleichen Seriennummer vorbeifliegt (kleiner Scherz)...

Und in meinem ersten Beitrag hier sollte natürlich "Startpunkt"
und nicht "Starpunkt" stehen...

Und jetzt noch eine tolle Aufgabe:
Die Maßeinheit sei km.
Eine teuflische Neuentwicklung des Militärs startet im Nullpunkt
und fliegt mit

1100

km/h eine linksdrehende archimedische Spirale
in der euklidischen Ebene, deren Radius pro Umdrehung um 5 km zunimmt

(Zur Veranschaulichung:

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 10 \\ 0 \end{matrix}), . .

. liegen auf der Flugbahn).

Die Waffe detoniert, wenn sie sich einem Ziel auf unter

300 m

nähert,
wobei sie natürlich alles innerhalb dieses Bereiches pulverisiert.
Ein alter Transportflieger startet zum gleichen Zeitpunkt wie die
Spiralwaffe im Punkt

S = (\begin{matrix} - 500 \\ - 430 \end{matrix})

und fliegt mit

530

km/h
geradlinig und nichtsahnend Richtung Punkt

Z = (\begin{matrix} 455 \\ 520 \end{matrix})

.
Kommt der Flieger an ?

(Bem.: Alles spielt sich auf derselben Höhe ab (Ebene),
die ist hier also zu vernachlässigen...)

stinlein aktiv_icon

21:27 Uhr, 15.06.2020

Eine interessante Aufgabe - warum rechnet niemand diese einmal Schritt für Schritt vor.
Oder ist der Schwierigkeitsgrad zu hoch?

382

Schülerinnen und Schüler haben daran anscheinend großes Interesse! Mal sehen, ob er sich soweit ermutigen lässt, sein Geheimnis uns Interessierten preiszugeben. Wäre schön!!!!
Liebe Grüße
stinlein

abakus

21:31 Uhr, 15.06.2020

Es steht dir frei, die Aufgabe haarklein vorzurechnen.
Pampers4ever!

stinlein aktiv_icon

21:41 Uhr, 15.06.2020

Mit deinen Mathekenntnissen, lieber Lutz, würde ich das tun. Leider verfüge ich über solche guten Kenntnisse nicht, das überlasse ich schon Hochschülern, die mit der Materie vertraut sind und die method. und didaktisch auch in der Lage sind, dazu einwandfreie, richtige Erklärungen zu den Rechenschritten abzugeben. Auf alle Fälle würde mich die Lösung interessieren und wie man dazu kommt. Es gibt sicher jemanden, der Lust verspürt, die Aufgabe zu lösen - vielen Fans wäre geholfen!
Viellelicht gelingt es uns, Farold dazu zu animieren!?!?!?!?
Liebe Grüße
stinlein

anonymous

22:11 Uhr, 15.06.2020

Ich hau mal was raus dazu...

Zunächst die Koordinaten der archimedischen Spirale
in Abhängigkeit vom Winkel

w

s : R_{\geq 0} \to R^{2}, w \mapsto (\begin{matrix} s_{x} (w) := cos (w) \cdot w \cdot q \\ s_{y} (w) := sin (w) \cdot w \cdot q \end{matrix})

mit

q = \frac{d}{2 \cdot π},

wobei die Konstante

d

die Zunahme des Radius der Spirale
pro Umdrehung (hier also

d = 5)

ist.

Nun die Länge

l

der Spirale in Abhängigkeit vom Winkel

w

.

Dazu zunächst die euklidische Norm von

s' (w) := (\begin{matrix} s_{x}' (w) := (cos (w) - sin (w) \cdot w) \cdot q \\ s_{y}' (w) := (sin (w) + cos (w) \cdot w) \cdot q \end{matrix}),

also

| s' (w) | := \sqrt{{(s_{x}' (w))}^{2} + {(s_{y}' (w))}^{2}} = q \cdot \sqrt{w^{2} + 1}

und das Integral über 0 bis

w

davon ist dann die Länge

l (w) := q \cdot \int_{0}^{w} \sqrt{x^{2} + 1} \cdot d x = \frac{q}{2} \cdot {[ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + x \cdot \sqrt{x^{2} + 1}]}_{0}^{w}

= \frac{q}{2} \cdot (ln (w + \sqrt{w^{2} + 1}) + w \cdot \sqrt{w^{2} + 1})

.

Da die Geschwindigkeit

v

der Spiralwaffe konstant ist
(hier

1100

km/h), ist

\frac{l (w)}{v} = : t (w)

die Zeit

t

in Stunden in Abhängigkeit vom Winkel

w

.

Der Flieger fliegt auf

f (t (w)) := (\begin{matrix} - 500 \\ - 430 \end{matrix}) + \frac{(\begin{matrix} 455 \\ 520 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 500 \\ - 430 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 455 \\ 520 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 500 \\ - 430 \end{matrix}) |} \cdot 530 \cdot t (w)

.

Jetzt noch

| s (w) - f (t (w)) | < 0,3

finden oder ausschließen...

Viel Spaß !

HAL9000

11:43 Uhr, 16.06.2020

> Eine interessante Aufgabe - warum rechnet niemand diese einmal Schritt für Schritt vor.

@stinlein

Das ist bereits geschehen. Vorrechnen bedeutet nicht automatisch, dass ellenlange Gleichungen entstehen müssen. Im vorliegenden Primitivfall genügt die Feststellung, dass sich alles auf der Geraden

(1, 1, 1) \cdot s

abspielt - welchen Sinn soll es machen, das zu irgendwelchen gigantischen Rechnungen aufzublähen?

stinlein aktiv_icon

16:35 Uhr, 16.06.2020

Liebe Mathehelfer!
Von meiner Seite aus ganz lieben Dank für eure Mühe. Ich habe mich über den Beitrag gefreut!
stinlein

HAL9000

16:40 Uhr, 16.06.2020

Meine Entschuldigung an stinlein für meinen letzten Beitrag: Ich hab schlampig gelesen und war dann falscherweise davon ausgegangen, es ginge immer noch um die Originalaufgabe statt um die von Farold Haltermeyer. ;-)

anonymous

17:41 Uhr, 16.06.2020

Zur Spiralaufgabe:
Die habe ich mir einfach mal so kurzfristig (Parameter aus'm Bauch heraus) ausgedacht
und auch selbst nie über das hier Gezeigte hinaus bearbeitet.

Zur Originalaufgabe:
Diamantgold, du hast mich per Nachricht gebeten
(siehe Anhang), noch einmal das in meinem ersten Beitrag hier
über die geforderte Lösung Hinausgehende zu erklären.

Ich breche es etwas herunter und mache nur kurz
die Zeit bis zur Kollision, wobei ich auch andere
Mathehelfer (wieder ein neues Wort gelernt) einladen möchte,
hier noch Erklärbär beizutragen.

Also, ich brauche den Abstand zwischen Rakete
und Flieger zu einem Zeitpunkt vor der Kollision
(logisch). Ich habe dafür den Zeitpunkt des Startes
gewählt und wie oben erwähnt dem Flieger einfach
selbst den Startpunkt

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

verpasst.
Der Abstand ist dann

\sqrt{{(- 20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2} + {(- 20 - 0)}^{2}} = \sqrt{3 \cdot 20^{2}} = \sqrt{3} \cdot 20

Kilometer, natürlich (das ist die euklidische Norm im

R^{3}) . .

.

Die Rakete ist schneller als der Flieger,
genau gesagt um

1000

km/h schneller und wenn man will,
so behaupte ich, kann man begreifen, dass es nun reicht,
den Abstand durch

1000

zu teilen - der Abstand schrumpft
mit

1000

km/h, salopp gesagt und

\frac{\sqrt{3} \cdot 20}{1000} \approx 0,0346410162

ist die Zeit in Stunden, bis es kracht...

(Bem.:In meinem ersten Beitrag habe ich das
stur durch Gleichsetzung der vorher definierten
Funktionen gelöst - lernst du in der Schule...)

N8eule

17:50 Uhr, 16.06.2020

Um diesen etwas raketenhaft länglich des öfteren abschweifend Zusatz-Aufwand-Aufgaben-haftem Treiben eines gewissen

F . H

. auch mal ein wenig konstruktives Tun entgegen zu halten, wäre es natürlich an dir

DiamantGold

auch mal klare Signale zu setzen, und

>

zu zeigen, was du verstanden hast,

>

Fragen zu beantworten,

>

dich nicht in persönliche Nachrichten zu verkriechen,

>

sondern - falls du noch Interesse hast -

>

offen zu zeigen, wo du stehts,

>

was du begriffen hast,

>

wo du unsicher bist,

>

welche Fragen noch offen sind.

anonymous

14:22 Uhr, 17.06.2020

Mehr Erklärbär zur Originalaufgabe...

Wir hatten ja rausgefunden, dass

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

eigentlich schon als Antwort reicht,
denn dessen Richtung (der Kurs) stimmt ja (sowohl für den Flieger, als auch die Rakete).

Wenn man will, kann man aber noch eine Geschwindigkeit in den
Richtungsvektor einflechten und zwar, indem man ihn auf die
dieser Geschwindigkeit entsprechende Länge bringt, ohne seine
Richtung zu ändern
(man kann sich ja leicht verschieden lange aber gleich
gerichtete Pfeile im Raum vorstellen).

Dazu brauchen wir wieder die Formel für die Länge eines Vektors, die ist

| (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) | = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}

.

Wir werden zudem einen Vektor mit einer "normalen" Zahl multiplizieren
und das geht so:

q \cdot (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} q \cdot a \\ q \cdot b \\ q \cdot c \end{matrix})

.

Doch nun los:

Auf Geschwindigkeit geeichter Richtungsvektor

R_{F}

für den Flieger:

1000 = | q \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} q \\ q \\ q \end{matrix}) | = \sqrt{q^{2} + q^{2} + q^{2}} = \sqrt{3 \cdot q^{2}} = q \cdot \sqrt{3} \Rightarrow q = \frac{1000}{\sqrt{3}},

also

R_{F} = (\begin{matrix} \frac{1000}{\sqrt{3}} \\ \frac{1000}{\sqrt{3}} \\ \frac{1000}{\sqrt{3}} \end{matrix})

.

Auf Geschwindigkeit geeichter Richtungsvektor

R_{R}

für die Rakete:

2000 = | q \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} q \\ q \\ q \end{matrix}) | = \sqrt{q^{2} + q^{2} + q^{2}} = \sqrt{3 \cdot q^{2}} = q \cdot \sqrt{3} \Rightarrow q = \frac{2000}{\sqrt{3}},

also

R_{R} = (\begin{matrix} \frac{2000}{\sqrt{3}} \\ \frac{2000}{\sqrt{3}} \\ \frac{2000}{\sqrt{3}} \end{matrix})

anonymous

17:41 Uhr, 17.06.2020

Und nun, Diamantgold, wäre es schön,
wenn du mal eine kleine Aufgabe bearbeitest
und hier einpflegst, und zwar:

Für

a = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \end{matrix})

berechne

c = 2 \cdot a - b, d = \frac{1}{2} \cdot (c - b)

und

e = \frac{| a |}{5} \cdot d

.

Analog zum Dreidimensionalen gilt hier

| (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) | = \sqrt{x^{2} + y^{2}},

es gilt Punkt- vor Strichrechnung und die Vektoren werden gemäß

(\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) \pm (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \pm x_{2} \\ y_{1} \pm y_{2} \end{matrix})

addiert bzw. subtrahiert.

Zeichne alle Vektoren als Ortsvektoren in ein
gewöhnliches Koordinatensystem und poste hier ein Bild davon.

anonymous

10:56 Uhr, 21.06.2020

Dreist, dreister, Diamantgold !
Kann man auf Onlinemathe eigentlich auch Profile blockieren ?
"Kommuniziert" word hier ja doch auch schon wie auf Facelutsch...

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