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Kurve in Polarkoordinaten berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Polarkoordinaten

-HAUNEBU- aktiv_icon

17:10 Uhr, 06.07.2013

Hi, ich hab mit dieser Aufgabe ein Problem

Es ist folgende Kurve in Polarkoordinaten geben:

r = - 2 \cdot sin φ ... ...

φ \in [π,2 π]

a)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche

A,

die durch die Kurve begrenzt wird, und skizzieren Sie die Kurve.

b)

Geben Sie die Darstellung der Kurve in Kartesische Koordinaten und den Flächenschwerpunkt von A an.

zu

a)

habe ich keine Idee
zu

b)

habe ich eine Formel

x = r \cdot cos φ ... . .

. und

y = r \cdot sin φ

aber ich weis sie nicht anzuwenden. Ich würde die Kurve mit den Kartesischen Koordinaten zeichnen und dann die Fläche berechnen.

Für die Berechnung des Flächenschwerpunktes brauch ich auch Hilfe.

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pleindespoir aktiv_icon

17:43 Uhr, 06.07.2013

Vielleicht hilft Runden ...

-HAUNEBU- aktiv_icon

08:35 Uhr, 07.07.2013

Wie soll ich das Verstehen?
Vielleicht irgendein Wert im Definitionsbereich auswählen?

Gruß

Respon

10:40 Uhr, 07.07.2013

r = - 2 \cdot sin (φ)

Es gilt ( Polarkoordinaten

) :

x = r \cdot cos (φ)

y = r \cdot sin (φ)

Umformung

r = - 2 \cdot sin (φ)

| \cdot r

r^{2} = - 2 \cdot r \cdot sin (φ)

r^{2} \cdot 1 = - 2 \cdot r \cdot sin (φ)

Es gilt:

1 = {sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ)

\Rightarrow r^{2} \cdot ({sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ)) = - 2 \cdot r \cdot sin (φ)

r^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) + r^{2} \cdot {cos}^{2} (φ) = - 2 \cdot r \cdot sin (φ)

Nun die Beziehung der Polkoordinaten anwenden

y^{2} + x^{2} = - 2 \cdot y

respektive

x^{2} + y^{2} + 2 \cdot y = 0

x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1

Es handelt sich also um einen Kreis mit dem Mittelpunkt

M (0, - 1)

und dem Radius

r = 1

rundblick aktiv_icon

10:58 Uhr, 07.07.2013

hey Respon

deinen Kreis könntest du noch einen Tick schneller haben:

Es gilt ( Polarkoordinaten

) :

r^{2} = x^{2} + y^{2}

und
y=r⋅sin(φ)

\to

sin(φ)

= \frac{y}{r}

r=-2⋅sin(φ)

\to r = - 2 \cdot \frac{y}{r}

..also

\to r^{2} = - 2 \cdot y \to

x^{2} + y^{2} = - 2 \cdot y

usw..

Respon

10:58 Uhr, 07.07.2013

Grenzgenial !

rundblick aktiv_icon

11:07 Uhr, 07.07.2013

gell?

aber jetzt sollte ja noch herausgefunden werden,
ob die ganze Kreislinie

x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1

oder vielleicht doch nur ein Teil davon mit dem
Polarglück der Sichtbarkeit beschert sein wird,
(bei dem angegebenen Intervall)

\to

r=-2⋅sinφ....... φ∈

[

π,2π]

Respon

11:15 Uhr, 07.07.2013

Hab ich schon, sie wird.

φ = π \Rightarrow r = 0

φ = 2 \cdot π \Rightarrow r = 0

A = \int_{π}^{2 \cdot π} \frac{r^{2}}{2} d φ = \int_{π}^{2 \cdot π} 2 \cdot {sin}^{2} (φ) d φ = x - sin (φ) \cdot cos (φ) |_{π}^{2 \cdot π} = π

. .

. so ungefähr..

rundblick aktiv_icon

11:30 Uhr, 07.07.2013

"... so ungefähr.."

wau

\to

war nicht

\to

r^{2} = - 2 \cdot

sin(φ)

...

. ??

so ungefähr..

Respon

11:31 Uhr, 07.07.2013

Nein,

r = - 2 \cdot sin (φ)

Mathe45

11:41 Uhr, 07.07.2013

He Leute !
Eigentlich geht's ja um den Fragesteller HAUNEBU. Er wollte Hilfe

. .

rundblick aktiv_icon

11:43 Uhr, 07.07.2013

ja , genau
sorry für den missglückten Versuch, war schlechte
Unterhaltung - na ja der Fragesteller wird uns ja
vielleicht noch besser unterhalten mit seinem gesuchten
Schwerpunkt ..
dazu sollten wir ihm die oben gewünschte "brauch schwere Hilfe"
wohl erst ganz ganz spät nachschieben

Respon

11:43 Uhr, 07.07.2013

Ok ! Ich zieh mich zurück und wünsche noch einen schönen Sonntag.
Carpe diem.

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15:39 Uhr, 07.07.2013

Hey respon,

also bei deiner Umformung komm ich überhaupt nicht mit. Kannst du mir diese noch mal genauer erklären?

Und habe ich das richtig verstanden das die Kurve einen Kreis ergibt deren Fläche

π

ist?
Wie kann man das denn ausrechnen wenn

φ

keinen Wert hat?

Gruß

rundblick aktiv_icon

16:19 Uhr, 07.07.2013

" wenn φ keinen Wert hat? .."

lustig - aber ganz so wertlos ist nichtmal das φ ..

aber ob es einen Wert hat, dass Respon dir
alles nochmal vorkauen soll? Ausführlicher als
oben notiert geht es wohl kaum noch ?
Vielleicht bemühst du dich und denkst mal mit.

ach ja

\to

der Winkel φ durchläuft die Werte von

π

bis

2 \cdot π

..das hast du selbst oben notiert.
Tipp: vermutlich Bogenmass - oder? .. was meinst du?

michaL aktiv_icon

18:09 Uhr, 07.07.2013

Hallo,

@OP: es wäre interessant, den Kontext zu erfahren. Sollst du vielleicht in Analysis mal eine Fläche ohne vorherige Umwandlung in kartesische Koordinaten bestimmen?
Ist in diesem Fall einfacher als die Umrechnung samt Überlegung bzgl Wertebereich und Integration, wie hier hervorragend demonstriert wurde.
Das Flächenelement in Polarkoordinaten ist

d A = r d r d φ

, was du zu berechnen hast, ist also

A = \int \int_{π}^{2 π} r (φ) d r d φ

.
Grenzen bitte noch selbst überlegen.

Mfg Michael

EDIT: vom Smartphone echt verdammt schwierig.

-HAUNEBU- aktiv_icon

20:16 Uhr, 07.07.2013

Ist

φ

nicht eine variable für die ich eigentlich eine zahl einsetzten kann? Oder ist

φ

sowas wie

π

oder

e^{x},

etwas fest gelegtes?
Und ob es einen wert hat, wenn mir jemand etwas "vorkaut"? Ganz sicher ist es mir etwas wert, wenn ich es danach verstehe und nach vollziehen kann wie respon das umgestellt hat und warum sie es so gemacht hat. Ich muss es ja später vieleicht selber anwenden können.
Und das es in bogenmaß gerechnet wird war mir klar. Und durch den großen wertebereich "schließt" sich doch die kurve erst zum kreis, weil

2 π 360

grad sind .

Gruß

Respon

20:43 Uhr, 07.07.2013

Hier einmal der Plot der Kurve in beiden Formen.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+r%3D-2*sin%28phi%29

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2B%28y%2B1%29^2%3D1

-HAUNEBU- aktiv_icon

09:11 Uhr, 09.07.2013

Hey respon, danke für den Link. So eine Seite habe ich gesucht um den Graphen zeichnen zu lassen ;-)

Ich verstehe bei deiner Umformung diese Zeilen nicht:

r^{2} = - 2 \cdot r \cdot sin (φ)

r^{2} \cdot 1 = - 2 \cdot r \cdot sin (φ)

Es gilt:

1 = {sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ)

warum Multiplizierst du

r^{2}

plötzlich mit 1 bzw.

{sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ)

Schönen Gruß

Respon

09:27 Uhr, 09.07.2013

Nun das sind so mathematische Tricks ( bzw. "Erfahrungswerte" )
Funktion

r = - 2 \cdot sin (φ)

Polarumformung

x = r \cdot cos (φ); y = r \cdot sin (φ)

Um nun eine sicher Umformung durchzuführen ( ob es der "kürzeste" Weg ist, ist nicht immer gesagt ) muss ich nun UNBEDINGT irgenwie auf

r \cdot cos (φ)

bzw.

r \cdot sin (φ)

kommen

r = - 2 \cdot sin (φ)

| \cdot r

r^{2} = - 2 \cdot r \cdot sin (φ)

Klingt gut, da ja

r \cdot sin (φ) = y,

also habe ich schon

r^{2} = - 2 \cdot y

Und jetzt zu diesem

r^{2}

Es gibt jetzt zwei Wege ( "elegant" und weniger "elegant" )
Zuerst "elegant":

x = r \cdot cos (φ) \Rightarrow x^{2} = r^{2} \cdot {cos}^{2} (φ)

( ich habe ja noch links in der Funktion "

r^{2}

" )

y = r \cdot sin (φ) \Rightarrow y^{2} = r^{2} \cdot {sin}^{2} (φ)

Und jetzt im Gedächtnis kramen, was ich mit

{sin}^{2} (φ)

und

{cos}^{2} (φ)

anstellen kann. Ich komme auf

{sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ) = 1

Um auf

{sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ)

zu kommen, muss ich die Gleichungen

x^{2} = r^{2} \cdot {cos}^{2} (φ)

y^{2} = r^{2} \cdot {sin}^{2} (φ)

addieren

also

x^{2} + y^{2} = r^{2} \cdot {sin}^{2} (φ) + r^{2} \cdot {cos}^{2} (φ)

x^{2} + y^{2} = r^{2} \cdot ({sin}^{2} (φ) + {cos}^{2} (φ))

x^{2} + y^{2} = r^{2} \cdot 1

Damit habe ich auch eine Umwandlung für

r^{2}

gefunden, setze ein und bin fertig

x^{2} + y^{2} = - 2 \cdot y

Viel Text, ich wollte ausführlich sein

( Bei Bedarf auch die ursprüngliche, weniger elegante Umformung )

rundblick aktiv_icon

13:11 Uhr, 09.07.2013

immer noch beratungsresistent, liebe Respon ?

sowas geht doch einfacher :

\to

siehe oben,

10 h 58 . .

07

07

2013

-HAUNEBU- aktiv_icon

09:27 Uhr, 10.07.2013

Hey respon, danke dir für deine ausführliche Erklärung, und der Textanteil war nicht zu viel.

Herzlichen Dank

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