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Kurven im R hoch n

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Vektor

Madam aktiv_icon

11:16 Uhr, 29.06.2011

Hey ihr lieben ich brauch euch mal :-D)
Es geht um Längen von Vektoren im

R

hoch

n

.
Was ein Vektor ist, ist ja klar, aber in der Differentialgeometrie hat es ja eine andere Bedeutung und die versteh ich nicht ganz

- . -

Vll. könnte es mir einer erklären :-D)
Danke schon mal im Vorraus.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Sina86

16:40 Uhr, 29.06.2011

Hallo,

jetzt musst du mir das Problem aber noch einmal genauer schildern. In der Differentialgeometrie ist ein Vektor dasselbe wie in der "restlichen" Mathematik auch, nämlich das Element eines Vektorraumes. Willst du vielleicht auf Tangential- und Normalvektor hinaus?

Lieben Gruß
Sina

Madam aktiv_icon

09:50 Uhr, 03.07.2011

Hallo Sina,
Ja genau das mein ich. Tschuldigung das ich es nicht genau genug beschrieben habe.

- . -

Aber ich weiß nicht genau was mit dem Tangentialvektor gemeint ist.

Mfg
Carola

Sina86

13:28 Uhr, 03.07.2011

Nun, an sich ist der Tangentialvektor einfach die erste Ableitung der Kurve ausgewertet in einem bestimmten Punkt. Also du berechnest für

γ : I \to ℝ^{n}; t \mapsto (\begin{array}{rcl} γ_{1} (t) \\ ⋮ \\ γ_{n} (t) \end{array})

die Abbildung (ich gehe hier davon aus, dass

γ

überall zweimal diff`bar ist)

γ ʹ : I \to ℝ^{n}; t \mapsto (\begin{array}{rcl} \frac{d γ_{1}}{d t} (t) \\ ⋮ \\ \frac{d γ_{n}}{d t} (t) \end{array}) = (\begin{array}{rcl} γ_{1} ʹ (t) \\ ⋮ \\ γ_{n} ʹ (t) \end{array})

Der Tangentialvektor in

t_{0}

ist dann

T_{γ} (t_{0}) := γ ʹ (t_{0}) \in ℝ^{n}

ist dann allerdings ein ganz normaler Vektor im

ℝ^{n}

(man darf hier nicht den Tangentialvektor

T (t_{0})

mit der Abbildung

γ ʹ

verwechseln. Erst wenn ich

γ ʹ

an einem bestimmten Punkt auswerte, erhalte ich einen Tangentialvektor!), den man sich als eine Pfeil vorstellen kann, der im Ursprung anfängt.

Wie auch immer, da der Tangentialvektor immer etwas mit einer Kurve zu tun hat, stellt man sich das häufig anders vor, man zeichnet den Tangentialvektor nicht beginnend im Ursprung, sondern verknüpft die Informationen

T_{γ} (t_{0})

und

γ (t_{0})

und zeichnet den Tangentialvektor, als würde er nicht im Ursprung, sondern in

γ (t_{0})

beginnen. Das ist aber nichts weiter als eine Vorstellung, mathematisch ist er dasselbe wie ein "normaler" Vektor.

Dasselbe gilt für den Normalenvektor

N_{γ} (t_{0})

einer Kurve. Dabei ist

N_{γ} (t_{0}) := γ ʺ (t_{0})

also die zweite Ableitung der Kurve ausgewertet am Punkt

t_{0}

.

Ein Sonderfall entsteht nun, wenn die Kurve nach Bogenlänge parametrisiert hat. Dann hat man immer, dass der Tangentialvektor die Länge 1 besitzt, also

∥ γ ʹ (t) ∥ \equiv 1, \forall t \in I

. Oder anders ausgedrückt

γ ʹ (t) \in S^{n}, \forall t \in I

, wobei

S^{n}

die n-Sphäre ist.

Dann erhalte ich auch den Sonderfall, dass

N_{γ} (t_{0}) ⊥ T_{γ} (t_{0}), \forall t_{0} \in I

ist. Denn aus

∥ γ ʹ (t) ∥^{2} = < γ ʹ (t), γ ʹ (t) > \equiv 1^{2} = 1

folgt, dass

\frac{d}{d t} < γ ʹ (t), γ ʹ (t) > \equiv \frac{d}{d t} 1 = 0

und es ist

\frac{d}{d t} < γ ʹ (t), γ ʹ (t) > = 2 < γ ʺ (t), γ ʹ (t) > \equiv 0

(nachrechnen!)
Und somit gilt für alle

t_{0} \in I

< γ ʺ (t_{0}), γ ʹ (t_{0}) > = < N_{γ} (t_{0}), T_{γ} (t_{0}) > = 0

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