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Kurvendiskussion

Schüler Gymnasium,

Tags: e-Funktion, Kurvendiskussion, Monotonieverhalten, Verschiebung, waagrechte Asymptote, Winkel, zeichnen

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12:13 Uhr, 14.05.2013

Gegeben ist die Funktion

f : f (x) = \frac{4 \cdot (e^{x} - 1)}{e^{2 x}};

Df=R .Ihr Graph ist Gf

a)

Zeigen Sie, dass Gf durch den Ursprung verläuft(hab ich schon) und berechnen Sie die Größe

α

des spitzen Winkels, unter dem die Gf die x-Achse im Ursprung schneidet.

b)Untersuchen sie das Monotonieverhalten von

f,

zeigen Sie, dass Gf genau einen Hochpunkt hat, und geben Sie die Kooridnaten deses Hochpunkts

H

an.

c)Begründen Sie, dass Gf die x-Achse als horizontale Asymptote besitzt.

d)

Zeichnen Sie Gf.

e)

Der Graph Gf wird in Richtung der y-Achse so verschoben, dasser dann durch den Punkt

S (0 | 2)

verläuft. Berechnen Sie den neuen Graphen Gf* durch eine Funktion

f \cdot

.
Geben Sie eine Verallgemeinerung einer Verschiebung von Gf in Richtung der y-Achse an.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel
Winkel - Einführung
Winkelberechnungen
e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Eva88 aktiv_icon

12:29 Uhr, 14.05.2013

Um den Winkel zu bekommen, die

0

in die erste Ableitung einsetzen und

m_{T}

bestimmen.

m_{T} = tan (α)

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12:53 Uhr, 14.05.2013

Ist die Ableitung dann

f

(x) = \frac{e^{2 x} \cdot 4 e^{x} \cdot (4 \cdot (e^{x} - 1) - 4 \cdot (e^{x} - 1) \cdot 2 e^{x})}{{(e^{2 x})}^{2}}

Bummerang

13:24 Uhr, 14.05.2013

Hallo,

die Funktion am besten vor dem Ableiten umformen!

\frac{4 \cdot (e^{x} - 1)}{e^{2 \cdot x}} = 4 \cdot (\frac{e^{x}}{e^{2 \cdot x}} - \frac{1}{e^{2 \cdot x}}) = 4 \cdot (\frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{2 \cdot x}}) = 4 \cdot (e^{- x} - e^{- 2 \cdot x})

Atlantik aktiv_icon

13:25 Uhr, 14.05.2013

f (x) = \frac{4 \cdot e^{x} - 4}{e^{2 x}}

(\frac{4 \cdot e^{x} - 4}{e^{2 x}})

´=

\frac{4 e^{x} \cdot e^{2 x} - (4 \cdot e^{x} - 4) \cdot 2 \cdot e^{2 x}}{{(e^{2 x})}^{2}} = \frac{4 e^{x} - 8 e^{x} + 8}{e^{2 x}} = \frac{8 - 4 e^{x}}{e^{2 x}}

mfG

Atlantik

Bummerang

13:32 Uhr, 14.05.2013

Hallo,

und wenn man meine Umformung ableiten würde, wäre das Ganze selbst in ausführlichster Form irgendwie einfacher:

4 \cdot ((- 1) \cdot e^{- x} - (- 2) \cdot e^{- 2 \cdot x}) = 4 \cdot (- e^{- x} + 2 \cdot e^{- 2 \cdot x})

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13:35 Uhr, 14.05.2013

vielen dank Bummerang aber Atlantik kann ich besser nachvollziehen :-)

wenn ich dann null in die ableitung einsetze bekomm ich 4 raus :-)
muss ich die 4 dann

{tan}^{- 1}

oder nur tan einsetzen ?

Bummerang

13:37 Uhr, 14.05.2013

Hallo,

"vielen dank Bummerang aber Atlantik kann ich besser nachvollziehen :-)"

Dann hast Du in folgenden Gebieten Nachholbedarf:

1. Addition/Subtraktion von gleichnamigen Brüchen

2. Kürzen/Erweitern von Brüchen

3. Potenzgesetze

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13:39 Uhr, 14.05.2013

muss ich die 4 nun in

{tan}^{- 1}

oder nur in tan einsetzen ? :-)

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13:54 Uhr, 14.05.2013

und kann ich das monotonieverhalten bestimmen indem ich die ableitung mit 0 gleichsetze?

supporter aktiv_icon

14:29 Uhr, 14.05.2013

Ja.
Vgl:
http//www.serlo.org/math/wiki/article/view/monotonieverhalten-berechnen

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15:42 Uhr, 14.05.2013

okay danke :-) aber ich glaube die ableitung von oben stimmt nicht, weil wenn ich sie in ein programm eingab hier auf dieser seite kommt raus dass die ableitung ist

: f

(x) = - e^{- (2 x)} \cdot (4 e^{x} - 8)

jetzt weiß ich nicht was richtig ist weil ich auch nicht weiß wie ich auf diese ableitung kommen soll

\frac{:}{}

Bummerang

15:53 Uhr, 14.05.2013

Hallo,

jetzt rächen sich die Lücken bei den Potenzgesetzen und der Bruchrechnung und zusätzlich in der Multiplikation mit negativen Zahlen! Wenn diese Lücken nicht da wären, könntest Du sehen, dass alle drei Ableitungen, die von Atlantik, mir und dem Programm, identisch sind!

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15:54 Uhr, 14.05.2013

sie sind aber nun mal da und dein kommentar hilft mir jetzt auch nicht weiter

Bummerang

15:58 Uhr, 14.05.2013

Hallo,

"... dein kommentar hilft mir jetzt auch nicht weiter"

So, dass die drei Ableitungen identisch sind und Du irgendeine der drei hernehmen kannst, ohne Angst haben zu müssen, dass sie falsch wäre, hilft Dir also nicht weiter! Dann kann ich Dir auch nicht mehr helfen!

PS: Du versuchst das 10-te Stockwerk eines Hauses zu bauen und ignorierst dabei, dass in den unteren Stockwerken die Wände zum größten Teil weggebrochen sind. Glaubst Du, dass Du das Haus oben fertigstellen kannst, bevor es Dir zusammenbricht?

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16:06 Uhr, 14.05.2013

nein glaube ich nicht aber ich kann jetzt auch nicht bis morgen schnell alle lücken füllen sodass ich die hausaufgabe leicht und locker machen kann. es gibt eben leute die verstehen mathe nicht und sind in naturwissenschaften schlecht und du solltest dich lieber glücklich schätzen, dass dies bei dir nicht der fall ist, anstatt andere runterzumachen die hilfe suchen!

Bummerang

16:24 Uhr, 14.05.2013

Hallo,

"anstatt andere runterzumachen die hilfe suchen"

Ich habe Dich an keiner Stelle "runtergemacht"! Ich bin der Meinung, dass Du mit diesen Lücken keine Chance hast, sinnvolle Hilfe zu erhalten! Dir Deine Hausaufgaben zu machen, dass Du sie nur noch abschreiben musst, ist nach meiner Meinung keine sinnvolle Hilfe! Ich wünsche Dir trotzdem viel Erfolg!

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16:27 Uhr, 14.05.2013

ich bin schon der meinung und ich schreibe die lösungen nicht einfach ab sondern versuche sie zu verstehen. deshalb bin ich ja ´hier sonst könnt ich morgen auch in die schule gehen und sie von irgendjmd abschreiben was aber ja nicht der sinn der ganzen sache ist!

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17:56 Uhr, 14.05.2013

hab jetzt die a und

b

fertig :-) stecke jetzt aber bei der

c

fest weil wenn ich den limes gegeb unendlich streben lasse bekommt ich unendlich raus... kann mir vll jmd weiterhelfen?:-)

Tommily aktiv_icon

18:12 Uhr, 14.05.2013

Würde Del Hospital anwenden, bis nur mehr

\frac{e^{x}}{e^{2 \cdot x}}

steht.
Das ist ja dann

e^{- x}

und das ist wiederrum beim

lim

gegen unendlich 0.

\to

x-Achse ist Asymptote!

LG

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18:19 Uhr, 14.05.2013

\partial

hospital ham wir nonich gemacht

: (

Ma-Ma aktiv_icon

18:22 Uhr, 14.05.2013

Wenn Du l'Hospital nicht nehmen möchtest, dann bleibt noch die Polynomdivision.
(Polynomdivision ist 10.Klasse, hattet Ihr also schon.)

steden aktiv_icon

18:28 Uhr, 14.05.2013

ja die hatten wir schon :-) muss ich dann einfach

(4 \cdot (e^{x}) - 4)

durch

e^{2 x}

teilen? aber wie geht das wegen den hoch

2 x

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18:37 Uhr, 14.05.2013

kann ich auch einfach mit

e^{- x}

erweitern?

Ma-Ma aktiv_icon

18:40 Uhr, 14.05.2013

Wenn Du magst, kannst Du auch erweitern

. .

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18:45 Uhr, 14.05.2013

okaay :-) dann noch die

d

wovon ich leider gar keine plan hab

. .

. habt ihr vll einen tipp der mir hilft ?

Ma-Ma aktiv_icon

18:49 Uhr, 14.05.2013

d)

Graf zeichnen. Meinst Du das ? Wohl eher nein.

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18:52 Uhr, 14.05.2013

nein :-D) sorry ich meinte die

e

:-)

Ma-Ma aktiv_icon

19:02 Uhr, 14.05.2013

Okay. Erinnere Dich an die gute alte Gerade

y =

mx
Die Verschiebung auf der y-Achse war

n

. Daraus folgt

y =

+ n

.
Um

n

wurde auf der y-Achse verschoben.

Das wäre jetzt hier:

f (x) = ... .

+ n

Desweiteren kennst Du

S (0 | 2)

.
Punkt einsetzen und

n

ausrechnen.

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19:06 Uhr, 14.05.2013

also ist

n = 2,

also ist die y=mx+2. aber die steigung ist doch nicht 0 was aber rauskommt weil ich ja dann hab

2 = m \cdot 0 + 2

. aber wenn die steigung null wäre hätte ich dort ja eine waagrechte Tangente. ?

Ma-Ma aktiv_icon

19:26 Uhr, 14.05.2013

JA,

n = 2

(Die Gerade war nur ein Beispiel, hat nichts mit Deiner e-Funktion zu tun.)

- - - - - - - -

e)

Der Graph Gf wird in Richtung der y-Achse so verschoben, dasser dann durch den Punkt

S (0 | 2)

verläuft. Berechnen Sie den neuen Graphen Gf* durch eine Funktion f⋅.

Deine neue (verschobene)Funktion lautet also:

f_(neu)

= f (x) + 2

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19:32 Uhr, 14.05.2013

achso, okay danke :-) und die allgemeine Funktion ist dann f(neu)=f(x)+n ?

Ma-Ma aktiv_icon

20:01 Uhr, 14.05.2013

"Geben Sie eine Verallgemeinerung einer Verschiebung von Gf in Richtung der y-Achse an."

Bei der Antwort muss das

n

mit einfließen

. .

. weil es die Verschiebung auf der y-Achse angibt.

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20:26 Uhr, 14.05.2013

hab ich doch dachte ich :-) bei f(neu)=

f (x) + n

Ma-Ma aktiv_icon

21:32 Uhr, 14.05.2013

"Geben Sie eine Verallgemeinerung einer Verschiebung von Gf in Richtung der y-Achse an."

Verallgemeinerung: Der Summand (unabhängig von

x)

gibt die Verschiebung auf der y-Achse an.

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12:08 Uhr, 18.05.2013

vielen dank :-)

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