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Kurvendiskussion

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Tags: maxima, Minima, Monotonieverhalten, Nullstell

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13:55 Uhr, 12.01.2022

Hallo!

kann mir jemand bitte bei folgender Aufgabe helfen:

f (x) = \frac{1}{x^{2} + r}

Bestimme die Nullstellen, Maxima, Minima, Monotoniebereiche,

x \to \pm

∞

wobei

r > 0

eine Konstante ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

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14:08 Uhr, 12.01.2022

Nullstellen:

f (x) = 0

keine Nullstellen, da der Zähler nicht Null werden kann.

Extrema:

f' (x) = 0

f (x) = {(x^{2} + r)}^{- 1}

f' (x) = - 1 \cdot {(x^{2} + r)}^{2} \cdot 2 x = - \frac{2 x}{{(x^{2} + r)}^{2}}

f' (x) = 0

. .

x = . .

= x_{E} =

Extremstelle

Maximum,falls

f'' (x_{E}) < 0

Minimum, falls

f'' (x_{E}) > 0

. .

x \to \pm \infty :

Nenner geht gegen

+ \infty \to f (x) \to 0

Monotonie:
steigend:

f' (x) > 0

fallend:

f' (x) < 0

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14:18 Uhr, 12.01.2022

Vielen vielen Dank! Dann probiere ich es mal zu lösen! ;-)

TheNeighbor12 aktiv_icon

15:09 Uhr, 12.01.2022

Ich hätte eine Frage bezüglich Extrema:

Kann es sein, dass es dort auch keine Nullstelle gibt, weil bei der ersten Ableitung wird der Nenner auch nie wirklich Null.

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15:14 Uhr, 12.01.2022

Der Nenner darf nicht Null werden.
Brüche werden nur Null, wenn der ZÄHLER NUll wird.

TheNeighbor12 aktiv_icon

15:34 Uhr, 12.01.2022

Ahja stimmt, danke! :-)

Ich hab es mal versucht durchzurechnen, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob dies wirklich so stimmen kann, weil es bei mir weder ein Minima noch ein Maxima gibt.

Auch das Monotonieverhalten kann man hier nicht wirklich zuordnen, denn

f'' (0) = 0

. Ich habe dann noch zusätzlich die dritte Ableitung hergenommen und hier ist

x

ebenfalls Null, somit ist hier keine Aussage möglich.

Kann das sein?

〉

Nullstelle:

f (x) = 0

keine Nullstellen, da der Zähler nicht Null werden kann.

〉

Extrema:

f (x) = {(x^{2} + r)}^{- 1}

f' (x) = - 1 \cdot {(x^{2} + r)}^{2} \cdot 2 x = - \frac{2 x}{{(x^{2} + r)}^{2}}

f' (x) = 0

\Rightarrow x = 0 =

xE = Extremstelle

〉

Maximum/Minimum:

f'' (x) = \frac{2 \cdot (3 x^{2} - r)}{{(x^{2} + r)}^{3}}

f'' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0

\Rightarrow

Keine Aussage möglich, da

f'' (x) = 0

nur dann gilt, wenn

x = 0

ist.

〉

Steigend/Fallend:

f' (0) = 0

\Rightarrow

Keine Aussage möglich.

Roman-22

16:04 Uhr, 12.01.2022

>

⇒x=0= xE = Extremstelle
Extremstelle nicht zwangsläufig! Du weißt bisher nur, dass an der Stelle

x = 0

die Tangente waagerecht verläuft. Es könnte aber auch ein Wendepunkt (Terassenpunkt) sein.

>

f′′(x)=0⇔x=0
falsch!

f'' = 0

zu betrachten ist sinnvoll, wenn du zB Wendepunkte ermitteln möchstest.
Wenn es um die Beurteilung des Extremwerts geht, musst du dessen x-Wert in die zweite Ableitung einsetzen.
Sollte da Null rauskommen (was hier nicht der Fall ist) müsstest du eben solange weitere Ableitungen bilden, bis erstmals an der Stelle eine von Null verschiedener Wert rauskommt.
Außerdem folgt bei deinem Beispiel aus

f'' (x) = 0

NICHT, dass

x = 0

ist!

TheNeighbor12 aktiv_icon

16:24 Uhr, 12.01.2022

@Roman-22

>

⇒x=0= xE = Extremstelle

Ah okay, dann darf ich das

x

noch nicht als Extremstelle bezeichnen, oder?

>

f′′(x)=0⇔x=0

Das habe ich leider wirklich eigenartig formuliert, tut mir leid.
Hier wollte ich nämlich den Extremwert berechnen und aussagen, das die zweite Ableitung ebenfalls Null ergibt, wenn

x = 0

ist (wegen Extremstelle, da

x = 0)

.

Ich habe nun nochmals die "Extremstelle" in die zweite Ableitung eingesetzt und da kommt da tatsächlich keine Null heraus:

f'' (0) = \frac{2 \cdot (3 \cdot 0 - r)}{{(0^{2} + r)}^{3}} = \frac{- 2 r}{r^{3}} < 0 \to

Minimum

Ist das so korrekt?

Roman-22

16:34 Uhr, 12.01.2022

>

Ah okay, dann darf ich das

x

noch nicht als Extremstelle bezeichnen, oder?

So ist es. Erst wenn du dich vergewisserst hast, dass an dieser Stelle die zweite Ableitung von Null verschieden ist (oder allgemeiner: dass an dieser Stelle die erste nicht verschwindende Ableitung eine mit geradem Ableitungsindex ist).

>

Ist das so korrekt?
Nein! Wenn die zweite Ableitung negativ ist, dann liegt ein Maximum vor, kein Minimum!

TheNeighbor12 aktiv_icon

16:45 Uhr, 12.01.2022

Ups, tut mir leid.

Ich schreibe hier nochmals meinen Lösungsansatz hier hin:

〉

Nullstelle:

f (x) = 0

keine Nullstellen, da der Zähler nicht Null werden kann.

〉

Extrema:

f (x) = {(x^{2} + r)}^{- 1}

f' (x) = - 1 \cdot {(x^{2} + r)}^{2} \cdot 2 x = - \frac{2 x}{{(x^{2} + r)}^{2}}

Erste Ableitung Null setzen:

f' (x) = 0

\Rightarrow x = 0

(Extremstelle | Wendepunkt)

〉

Maxima/Minima:

f'' (x) = \frac{2 \cdot (3 x^{2} - r)}{{(x^{2} + r)}^{3}}

(Extremstelle | Wendepunkt) in die zweite Ableitung einsetzen:

f'' (0) = \frac{2 \cdot (3 \cdot 0^{2} - r)}{{(0^{2} + r)}^{3}} = \frac{- 2 r}{r^{3}} < 0 \to

Maxima

〉

Monotonie:

f' (0) = 0

\Rightarrow

Funktion

f

ist steigend als auch fallend.

Roman-22

17:03 Uhr, 12.01.2022

>

(Extremstelle | Wendepunkt)
Stelle

. .

. nur der x-Wert
Punkt

. .

. tatsächlich das geometrische Objekt, festgelegt durch

x -

UND y-Koordinate

> f' (0) = 0

>

⇒ Funktion

f

ist steigend als auch fallend.
?????
Aus

f' (0) = 0

allein kannst du doch nur folgern, dass an der STELLE

x = 0

eine waagerechte Tangente vorliegt!

Auch für

f (x) := x^{3}

gilt

f' (0) = 0

und dennoch ist die Funktion über ganz

ℝ

steigend.
Allerdings liegt hier an der Stelle

x = 0

auch keine Extremstelle, sondern ein Wendepunkt vor ;-)

Abgesehen davon wirst du vermutlich, wenn du das Monotonieverhalten untersuchen sollst, auch angeben sollen, in welchem Bereich der Graph steigend und in welchem er fallend ist.
Dazu musst du feststellen, für welche x-Werte

f' (x)

positiv und für welche x-Werte

f' (x)

negativ ist.

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17:16 Uhr, 12.01.2022

Oh, aber wenn ich dann aus

f' (0) = 0

daraus schließen kann, dass es sich hier um eine waagrechte Tangente handelt, dann muss ich somit auch keinen Bereich mehr angeben, wo der Graph steigend oder fallend ist. Das entfällt hier ja in dem Fall, oder? :-)

Respon

17:22 Uhr, 12.01.2022

@TheNeighbor12
Du hast den Tippfehler von

f' (x)

von ganz oben zweimal übernommen, dann aber richtig weitergerechnet.

Roman-22

17:30 Uhr, 12.01.2022

>

Oh, aber wenn ich dann aus f′(0)=0 daraus schließen kann, dass es sich hier um eine waagrechte Tangente handelt, dann muss ich somit auch keinen Bereich mehr angeben, wo der Graph steigend oder fallend ist. Das entfällt hier ja in dem Fall, oder? :-)

DOCH! IN der Angabe steht doch explizit "Monotoniebereiche".

f' (0) = 0

sagt doch nur etwas über diese eine Stelle bei

x = 0

aus. Dort (und nur dort) ist die Kurve weder steigend noch fallend. Aber was ist links von dieser Stelle und was rechts davon?

Der Tippfehler, den Respon meint, ist die Hochzahl bei

f' (x)

. Da hast du in zwei Beiträgen

{(. .)}^{2}

stehen, wo eigentlich

{(. .)}^{- 2}

hingehört. Danach steht aber jedesmal richtig

\frac{. .}{{(. .)}^{2}}

TheNeighbor12 aktiv_icon

18:08 Uhr, 12.01.2022

Aso danke für den Hinweis. Dann gehört es also richtigerweise so, oder?

f' (x) = - 1 \cdot {(x^{2} + r)}^{- 2} = - \frac{2 x}{{(x^{2} + r)}^{2}}

Nun bezüglich Monotoniebereich, ich weiß, dass

f' (x)

immer negativ ist, egal welchen x-Wert ich hier einsetze.
Aber ich weiß nicht genau wie ich das am Besten angehen soll...

Nachdem wir bei

x = 0

einen Hochpunkt/Maxima haben, haben wir somit folgendes Intervall:

]

-∞;

0 [

\to

ist links davon steigend und rechts davon fallend.

Kann das sein?

Roman-22

18:19 Uhr, 12.01.2022

>

Dann gehört es also richtigerweise so, oder?
Ja

>

Nun bezüglich Monotoniebereich, ich weiß, dass f′(x) immer negativ ist, egal welchen x-Wert ich hier einsetze.
Ach ja, bist du da ganz sicher? Schon mal versucht zB

x = - 1

einzusetzen?

>

→ ist links davon steigend und rechts davon fallend.
Ja, so ist es und deshalb wird wohl links von 0 die Steigung/erste Ableitung kaum negativ sein können, oder?

Dein Ableitung ist

f' (x) = \frac{- 2 x}{{(...)}^{2}}

Der Nenner ist als Quadrat wohl immer positiv, ja sogar immer größer als

r^{2}

.
Das Vorzeichen der ersten Ableitung wird also nur vom Zähler

- 2 x

abhängen.
Wie sieht es also mit dem Vorzeichen von

- 2 x

aus? ZB wenn

x < 0

ist.

TheNeighbor12 aktiv_icon

18:26 Uhr, 12.01.2022

Ahhh stimmt, habe die negativen Zahlen gar nicht mal beachtet, sehr peinlich.
Nun ich denke, dass es hier soweit eh gelöst ist. (oder?)

Vielen vielen Dank für ALLES! Super tolle Hilfe und danke auch für Deine Geduld mit mir! ;-)

TheNeighbor12 aktiv_icon

18:27 Uhr, 12.01.2022

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