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Kurvendiskussion E-Funktion mit unbekannte a

Schüler Kolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, e-Funktion, Kurvendiskussion, unbekannt

anonymous

16:12 Uhr, 12.06.2009

Hallo. Und zwar bräuchte ich mal die Kurvendiskussion von dieser E-Funktion mit Ableitungen und so. Hab das eigentlich verstanden aber mit ner Unbekannten verwirrt mich nen bischen.

Hier die Aufgabe:

f(x)=ax^2

\cdot e

hoch

3 - 2 x

dazu muss ich die Ableitungen bilden,

Nullstellen suchen und Extrema und Wendepunkte

So und beantworten: Erläutern Sie die Ergebnisse im Bezug auf a also der Unbekannten

So wie muss ich das Rechnen bräuchte es einmal komplett damit ich die andere Aufgabe die ich auch noch habe Rechnen kann.

Hab gar keinen Schimmer vor allem schon nicht bei den Ableitungen

: (

Vielen Dank!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Extrema / Terrassenpunkte
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16:16 Uhr, 12.06.2009

Beim Ableiten bentutzt du die Variable a genau wie jede ander Konstante wie (1,2,3) auch.

Sollte also keine große Schwierigkeit sein.

Und aller Ergebnisse werden halt Abhängigkeiten von a sein.

anonymous

16:24 Uhr, 12.06.2009

OK Könnte mir einer zur Kontrolle mal die Ableitungen ausrechnen.

f

STRICH VON

(x)

2 X \cdot e

hoch

3 - 2 x +

ax^2*(-2)e^3-2x

Ist die 1te Ableitung so richtig. Wie sieht das eigentlich mit den Nullstellen und so aus. Kann mir das mal jemand vorrechen?

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16:30 Uhr, 12.06.2009

Also wenn die f(x) so ist wie ich es verstehe, und zwar: $f (x) = a x² e³ - 2 x$

dann ist $f' (x) = 2 a e³ x - 2$

anonymous

16:33 Uhr, 12.06.2009

Also bei den

e

hoch 3 gehört die minus

2 x

noch in den exponten

warum aber

2 a

in der Ableitung????? das verstehe ich nicht

: (

Kann mir das jemand genauer erklären mit den Ableitungen!

xtraxtra aktiv_icon

16:46 Uhr, 12.06.2009

Dann würde ich bitten in Zukunft klammern zu setzen oder besser noch, den Formaleditor!!!

Es ist also $f (x) = a x² e^{3 - 2 x}$

Dann ist f'(x)= $2 a (e^{3 - 2 x} x - e^{3 - 2 x} x²)$

anonymous

16:49 Uhr, 12.06.2009

Kannste mir die anderen beiden Ableitungen auch noch eben schreiben. Wie gesagt, das sieht mir alles kompliziert aus und dann hätte ich nen Musterbeispiel. Und wie sieht das denn mit den NUllstellen und so aus. Da ist ja noch das a und das kann man ja nicht rechnen oder???

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16:54 Uhr, 12.06.2009

Also Ableiten musst du können und üben.

Da nutzt dir ein Musterbeispiel rein gar nix!

Also probier die Mal lieber selbst.

Zum Thema Nullstellen:

Das geht genau wie, wenn du keinen Parameter hast. Gleich Null setzen und schaun, wann die Funktion Null wird.

Und vllt noch beachten, dass wenn a=0 dann hast du die Nullfunktion, bei der jeder Punkt eine "Nullstelle" ist.

anonymous

16:56 Uhr, 12.06.2009

Eigentlich meinte ich mit dem Musterbeispiel, das ich das mal morgen selber rechnen kann, die Ableitungen und so und mit den Lösungen vergleichen kann. Aber naja mal schauen. Werd es mal morgen ohne versuchen. Trotzdem danke.

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17:00 Uhr, 12.06.2009

Ja, versuch es mal selbst, wenn du dann nicht zurrecht kommst, schreibs mal hier rein, dir wird dann sicher geholfen.

Ich bin einfach ein Feind von dem könnt ihr mal für mich Rechnen Spruch.

Natrülich können wir das. Aber es bringt euch einfach nix. Wenns Fragen gibt, dann fragt, aber beschäftig euch mit dem Problem, nur so macht es Sinn.

anonymous

16:19 Uhr, 13.06.2009

Komme nicht auf die anderen beiden Ableitungen!!!! Weiß nicht wie ich das angehen muss.

anonymous

09:42 Uhr, 14.06.2009

Kann mir bitte bitte jemand dabei helfen!!! Komme nicht auf die Lösung!!!!

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12:50 Uhr, 14.06.2009

Wie man auf f'(x) bekommt ist dir jetzt klar?

Zu f''(x): Das ist ja die Ableitung von f'(x)

f''(x)= $2 a e^{3 - 2 x} x (1 - x)$ Dann ist das schon ein bischen einfacher.

So das 2a kannst du einfach vor die Ableitung ziehen, denn das bleibt als Vorfaktor eh gleich.

Dann musst du dich "nur" um $e^{3 - 2 x} x (1 - x)$ kümmern

Hier wedest du einfach die Doppelte Produktregel an:
$f^{''} (x) = {2 a e}^{3 - 2 x} (2 x^{2} - 4 x + 1)$

Für f''' gehts genauso!

Das nächste mal würde ich dich aber bitte nicht nur zu schreiben, dass du nicht auf die Lösung kommst, sonder dann würde ich auch gerne deinen Lösungsansatz sehen, um vllt den Fehler zu ermitteln!

anonymous

13:21 Uhr, 14.06.2009

Ist F´´´(x)dann

F´´´(x)=2a(e^(3-2x)-2x^2-4x+1)

F´´´(x)=2*-2e-2x^2-4

Wahrscheinlich kompett falsch oder??? Ist wirklich schwer bei den Komplizierten. Das währe jetzt mein Ansatz.

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13:41 Uhr, 14.06.2009

Da hast du dich glaub ich wo verrechnet.
Es sollte

- 4 a e^{3 - 2 x}

(2x²-6x+3) rauskommen.

anonymous

13:49 Uhr, 14.06.2009

Ok Hab meinen Fehler gefunden. Hab als dritte Ableitung jetzt das selbe raus.

So jetzt ist ja meine Frage. Die Nullstellen bekommt man ja einerseits raus in dem man die

X

Werte gleich Null setzt beziehungsweise wenn man

F (x)

gleich null setzt. Was ich nur nicht verstehe ist das

a

in der Funktion. Wie mache ich das denn. Wie rechne ich das denn. Muss ich für a einfach irgendeine Zahl einsetzen? Das ist ja bei dem Extrema und Wendepunkten genauso. Weil man hat ja nen A immer dazwischen.

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13:56 Uhr, 14.06.2009

Nullstellen findet man nicht herraus, indem man

x = 0

setzt. Sondern nur indem man

f (x) = 0

setzt!!!
Und genau das tust du auch:

f (x) = 0

Dann musst du 2 Dinge unterscheiden: einmal

a = 0

und einmal a ungleiche 0.
Du müsstest dann EINE Nullstelle rausbekommen.

Anlex aktiv_icon

13:57 Uhr, 14.06.2009

Damit du es schrittweise nachvollziehen kannst:

Du willst folgendes ableiten:

f ʺ (x) = 2 a e^{3 - 2 x} (2 x^{2} - 4 x + 1)

Wie bereits gesagt wurde, musst du

2 a

erstmal nicht als Variable betrachten, betrachte den Faktor als irgendeine Konstante und als solche kannst du sie vor die Ableitung ziehen.

Nun musst du auf die dort noch stehende e-Funktion und auf die Klammer die Produktregel anwenden, die ja folgendermaßen funktioniert:

(u \cdot v) ʹ = u ʹ \cdot v + u \cdot v ʹ

Betrachten wir jetzt die e-Funktion als

u

und die Klammer als

v

, dann gibt das:

f ‴ (x) = 2 a (- 2 e^{3 - 2 x} (2 x^{2} - 4 x + 1) + e^{3 - 2 x} (4 x - 4))

Hier ziehst du nun die e-Funktion aus der Klammer, da sie in beiden Summanden einmal vorkommt, die in der klammer verbleibenden Summanden fasst du zusammen, soweit möglich:

f ‴ (x) = 2 a e^{3 - 2 x} (- 4 x^{2} + 12 x - 6)

Und da kannst du nun noch den Faktor

- 2

aus der Klammer ziehen:

f ‴ (x) = - 4 a e^{3 - 2 x} (2 x^{2} - 6 x + 3)

anonymous

14:00 Uhr, 14.06.2009

also wenn ich jetzt a gleich 0 setze bekomme ich doch 0 heraus oder nicht als Nullstelle 0 heraus. Und wenn ich a ungleich 0 setze dann ändert sich ja der Wert je nachdem wie a ist oder sehe ich das falsch?

xtraxtra aktiv_icon

14:05 Uhr, 14.06.2009

Angenommen

a = 0

dann ist ax²

e^{3 - 2 x}

doch egal für welches

x

immer gleich Null

\Rightarrow

Nullfunktion
Un wenn a ungleich 0 dann muss ja um für

f (x)

Null zu bekommen entweder x² oder

e^{3 - 2 x}

gleich 0 sein!
Die Expotentialfunktion kann aber nicht 0 werden. Also muss x²=0 sein, was für

x = 0

der Fall ist.

anonymous

14:20 Uhr, 14.06.2009

Das heißt ich würde folgendes Schreiben:

bei den Nullstellen

a = 0

dann ist die ganze Funktion null

a ungleich 0 dann ist x²

= 0

also

X = 0

Nullstellen also

(0

und

0)

.

Ist das so richtig? Und wie mache ich das denn wenn ich f´´(x)

= 0

setzen muss für die Extrema? Und wenn ich das in die Funktion

F (x)

einsetzen muss für den Y-Wert?

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14:22 Uhr, 14.06.2009

Ja, Nullstelle bei

x = 0

für a ungleich 0
Und mit den Extremas gehts ganz genauso, allerdings solltest du hier

f' (x)

nehmen.

anonymous

14:24 Uhr, 14.06.2009

Also schreibe ich das so OK!

Bei Extrema also wieder wenn a gleich 0 ist dann ist die gesamte Funktion null also ist ein Extrema bei 0 und dann wenn a ungleich null ist ist auch hier

x = 0

. Das ist doch bestimmt falsch oder nicht?

Und wie ist das denn mit den Y-Werten? Finde es durch das A richtig verwirrend

: (

anonymous

14:44 Uhr, 14.06.2009

Ist denn meine Überlegung so richtig??

anonymous

15:06 Uhr, 14.06.2009

Könnte noch mal einer drüberschauen und mir bei den Extrema und Wendepunkten helfen?

xtraxtra aktiv_icon

18:40 Uhr, 14.06.2009

Denk dir einfach das a ist gar nicht da ;-) Und mache es wie jede andere Kurvendiskusion auch.

Nein, wenn

a = 0

dann hast du keinen Extrempunkt!
Wenn a ungleich 0 dann hast du einen bei

0,

das stimmt. Allerdings müsstest du noch eine zweite Extremstelle rausbekommen.

Was meinst du mit den y-Werten?

anonymous

13:52 Uhr, 15.06.2009

Kann mir bitte das mit dem Nullstellen Extrema und Wendepunkten mal vorrechnen???

Bitte. Es ist wirklich wichtig. Muss bis morgen auch noch die anderen Aufgaben gemacht haben und bräuchte ne Musterrechnung!!!

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14:47 Uhr, 15.06.2009

Ich weiß nicht, wie oft ichs dir noch sagen soll? Eine Musterlösung wird dich nicht weiter bringen.
Das hier funktioniert wie jede andere Kuvendiskusion auch!

Aber gut. Dann rechne ichs dir halt mal vor ;-)
Die Nullstellen haben wir ja schon (bei

x = 0)

Extrempunkte:
Die Ableitung lautet:

f' (x) = 2 a e^{3 - 2 x} x (1 - x)

Diese soll Nullergeben. Das ist der fall für

x = 0

und für

1 - x = 0 \Rightarrow

also

x = 1

Natürlich nur, wenn

a \neq 0

.

Um welche Art von Extrempunkten es sich handelt, findet man mit der 2. Ableitung herraus:
Erstmal die schaun wir, was bei die Funktion bei

\pm \infty

treibt:

lim_{x \to - \infty} f (x) = \infty

für postive

a,

und

- \infty

für negative a

lim_{x \to \infty} f (x) = 0

Nullstellen in die f''(x)einsetzen:

f'' (0) = 2 a e^{3}

Der exakte Wert ist hier egal, wichtig ist nur, für

a < 0

Rechtskrümmung

\Rightarrow

also Maximum, für

a > 0

Linkskrümmung, also Minimum
f''(1)=2ae*(-1)
Ist für

a < 0

positiv

\Rightarrow

Linkskrümmung

\Rightarrow

Maximum, und für

a > 0

negativ

\Rightarrow

Rechtskrümmung

\Rightarrow

Minimum

Wendepunkte:
Funktioniet genauso:

f'' (x) = 0

Das ist dann der Fall, wenn 2x²-4x+1=0. Einsetzen in Lösungsformel ergibt.
Bin ich jetzt zu faul es auzurechnen, aber ist ja nur einsetzen

. .

.
Muss wie bei jeder quadratischen Gleichung 2 Lösungen geben. Das ist auch durch Überlegen und ansehn der Extrema und auch der Grenzwerte rauszubekommen.

Loobia aktiv_icon

15:04 Uhr, 15.06.2009

ich denke die funktion soll
f(x)=ax²e^(3-2x)
lauten

anonymous

15:08 Uhr, 15.06.2009

Das währe ja nicht schwer, das a gehört aber dazu!

xtraxtra aktiv_icon

15:11 Uhr, 15.06.2009

worauf beziehen sich die letzen beiden Posts?

anonymous

15:13 Uhr, 15.06.2009

Loobia wollte mir auch dabei helfen!

anonymous

15:21 Uhr, 15.06.2009

Kann ich als Antwort schreiben:

Die Nullstellen sind

x = 0

und

X = 1

wenn a ungleich 0 ist.

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15:23 Uhr, 15.06.2009

Nein, kannst du nicht.
Mach dir nochmal gedanken über die Nullstellen.
Und über das was ich dir schon geschrieben habe.

anonymous

15:29 Uhr, 15.06.2009

Kann ich auch schreiben wenn a gleich 0 ist, ist dies ne 0 Funktion oder nicht?

Und bei

f

(x)

haste da auch was mit

1,70

und

0,29

raus? also wenn f´´´(x)=0 ist?

anonymous

15:31 Uhr, 15.06.2009

Ja die Extremwerte sind

X = 1

und

X = 0

wenn a ungleich 0 ist.

xtraxtra aktiv_icon

15:32 Uhr, 15.06.2009

Ja das würde ich gleich zu beginn der Kurvendiskusion schreiben, dass wenn

a = 0

handelt es sich um die Nullfunktion, und eine weiter Kurvendiskusion wird somit überflüssig.

Du meinst bestimmt

f'' (x) = 0,

oder?
Da kommen solche Werte raus, jedoch empfehle ich dir nicht zu runden, sondern den exakten Wert also mit Wurzeln oder so hinzuschreiebn. Außer, euer Leher verlangt es anders.

anonymous

15:34 Uhr, 15.06.2009

Muss man eigentlich nicht zur Überprüfung es in f´´´(x) reinsetzen?

xtraxtra aktiv_icon

15:41 Uhr, 15.06.2009

Ja das kannst du machen, oder du checkst einfach die Vorzeichen der Krümmung vor und hinter dem Wendepunkt. Was eingentlich schon durch die Extrema und den Grenzwert passiert. Allerdings habe ich das noch nicht ausführlich in meine Lösung interpretiert.
Das war jetzt noch deine Aufgabe ;-)

anonymous

15:43 Uhr, 15.06.2009

Das heißt bei der Überprüfung setzte ich eigentlich nur die beiden

x

Werte für

x

in der dritten Ableitung rein. Sehe ich das richtig? Und dann schaue ich was da rauskommt?

Was ist aber dabei mit dem a wieder? Muss ich das außen vor lassen und einfach rechnen

z . B

. 2*1,70²

- 6 \cdot 1,70 + 3

so?

anonymous

16:44 Uhr, 15.06.2009

Vielen Dank nochnmal. Falls noch ne Frage dar ist stelle ich sie einfach nochmal!

xtraxtra aktiv_icon

18:29 Uhr, 15.06.2009

Um einen Wendepunkt nachzuweisen, muss die 2. Ableitung 0 sein, und die 3. Ableitung

\neq 0

Welchen Problem hast du jetzt wieder mit dem a? ;-)

anonymous

18:36 Uhr, 15.06.2009

Ja Ich weise doch nach das die Funktion ungleich null ist indem ich die

X

Werte in die Funktion einsetze so wie ich das in dem Post vorher am Bespiel gemacht habe. Ist ds so richtig?

2*1,70² -6⋅1,70+3 so würde ich das jetzt bei dem Wendepunkt

1,70

nachweisen

anonymous

18:52 Uhr, 15.06.2009

Das Ergebnis daraus wäre ja ungleich 0

xtraxtra aktiv_icon

21:47 Uhr, 15.06.2009

Du musst bitte etwas auführlicher schreiben. Mittlerweile ist das hier alles so lang, dass ich etwas den Überblick verloren habe ;-)
Also du hast die 2. Ableitung

= 0

gesetzt
und

x \approx 1,70

rausgebracht. (was ich schonmal schlecht finde. Hier wäre ein exakter Wert wesentlich besser)
Diesen Wert müsstest du jetzt in die 3. Ableitung einsetzt um den Wendepunkt zu bestätigen, oder du überlegst es dir und Argumentierst dann Logisch, über Vorzeichenwechsel oder so.
Hast du das gemeint?

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