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Kurvendiskussion und Gleichungen

Schüler Abendgymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Nullstell, Potenz

Nedman aktiv_icon

16:29 Uhr, 19.08.2018

Kurz zur Information. Ich bin

28

Jahre alt und seit einer Woche wieder nebenberuflich Schüler an einem Abendgymnasium. Die Themen sind Analysis und Kurvendiskussion. Gegeben ist folgende Gleichung:

C (t) = \frac{10^{6}}{8} (6 t^{2} - t^{3})

Hier soll eine komplette Kurvendiskussion durchgeführt werden. Der Ablauf ist mir bekannt, jedoch kann ich mit der Gleichung nicht arbeiten da ich bereits beim berechnen der Nullstellen auf Probleme stoße(Gleichung umstellen bzw. nach

t

auflösen).Kann mir jemand einen Denkanstoß geben bzw. einen Weg aufzeigen diese Gleichung zu vereinfachen. Ich komme jedes mal durcheinander wenn mehrere Potenzen in Gleichungen vorhanden sind .

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

16:37 Uhr, 19.08.2018

>

Kann mir jemand einen Denkanstoß geben
Dass der Faktor

\frac{10^{6}}{8}

für die Nullstellen nicht von Bedeutung ist, wird dir vermutlich klar sein. Klammere dann einfach

t^{2}

aus.

SmoothCriminal aktiv_icon

21:15 Uhr, 19.08.2018

Dann solltest Du die Lösungsverfahren wiederholen und lernen anzuwenden, die gängigsten sind:

PQ-Formel (wenn Du

x^{2}, x,

und eine Zahl hast)

x^{2} - 4 x + 5 = 0

|PQF

Ausklammern (wenn überall ein

x

drin vorkommt)

x^{2} - 4 x = 0

|x-Ausklammern

x \cdot (x - 4) = 0

x = 0 \lor x - 4 = 0

Substitution, wenn Du die gleichung auf die PQ-Formel zurückführen kannst

x^{4} - x^{2} + 1 = 0

|Substi:

u = x^{2}

u^{2} - u + 1 = 0

|PQF

und wenn gar nichts geht Polynomdivision (dazu musst Du eine Lösung kennen, bzw. erraten)

x^{3} + x - 2 = 0 | x = 1

erraten, denn

1^{3} + 1 - 2 = 0

stimmt. Jetzt durch das zugehörige Polynom teilen, also

(x^{3} + x - 2) : (x - 1) = . .

.

und mit der erhaltenen Lösung weitermachen.

Noch zwei Tipps:

1)

Man sieht das Lösungsverfahren besser, wenn man Nullgleichungen hat, forme also immer erst derart um, etwa

x^{2} - x = 2 x + 1 | - 2 x - 1

\Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 1 = 0

|PQF

2)

Konstante Faktoren kannst Du bei Nullgleichungen wegdividieren, will sagen

\frac{10^{6}}{4} \cdot

(irgendwas)

= 0 | : \frac{10^{6}}{4}

\Leftrightarrow

irgendwas

= 0

Klar soweit?
PS: Diese Verfahren sind für Analysis zwingend notwendig. Wenn Du eins nicht kannst, unbedingt lernen!

rundblick aktiv_icon

21:38 Uhr, 19.08.2018

C (t) = \frac{10^{6}}{8} \cdot (6 t^{2} - t^{3})

" da ich bereits beim berechnen der Nullstellen auf Probleme stoße"

C (t) = 0 .

...

\Rightarrow (6 t^{2} - t^{3}) = 0

und da brauchst du kein Gesabber über quadratische Gleichungn lesen (da ist auch keine!)

\to

sondern folge dem Vorschlag von Roman und stelle den Term als Produkt dar :

...

\Rightarrow t \cdot t \cdot (6 - t) = 0

und jetzt weisst du bestimmt, wann ein Produkt den Wert 0 haben kann
und kannst also sofort die drei Lösungen deiner kubischen Gleichung aufschreiben

also: mach mal: welches sind die Nullstellen von

C (t) = \frac{10^{6}}{8} \cdot (6 t^{2} - t^{3}) ... .

. ?

\to . .

.
.

SmoothCriminal aktiv_icon

14:25 Uhr, 20.08.2018

der Fragesteller schreibt: "Ich komme jedes mal durcheinander wenn mehrere Potenzen in Gleichungen vorhanden sind . "

\to

Ich erkläre wie man Gleichungen mit verschiedenen Potenzen löst.

->rundblick hält es für nötig, "da brauchst du kein Gesabber über quadratische Gleichungn" anzumerken.

Danke dafür!

Nedman aktiv_icon

20:11 Uhr, 21.08.2018

Ich danke euch allen für eure Antworten. Nun habe ich meine Schwächen erkannt und weiß wo ich ansetzen muss.:-)

anonymous

23:14 Uhr, 21.08.2018

Polynome3 3. Grades sind ein Sonderfall, denn ihre Kurvendiskussion beginnt immer mit dem Wendepunkt. Für den brauchst du nämlich keine 2. Ableitung. Du gehst immer aus von der Normalform

f (x) = x

+ a_{2} x

+ a_{1} x + a_{0} (1 a)

a_{2} = (- 6); a_{1} = a_{0} = 0 (1 b)

Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

x_{W} = - \frac{1}{3} a_{2} = 2 (2)

Ich betone AUSDRÜCKLICH , dass dir die Lehrer und Skripten diesen Zusammenhang verschweigen ( sollten sie es überhaupt wissen. )

( Dein

\to

Leitkoeffizient ( LK ) ist etwas kompliziert; die ganzen Funktionswerte überlasse ich dir. )
Nullstellen sind wieder easy; ihr nennt das " den Satz vom Nullprodukt " Faktorisiere ( 1ab )

f (x) = x

(x - 6) (3 a)

x_{1};_{2} = 0; x_{3} = 6 (3 b)

Abermals Diktat für FRS

" Eine gerade - hier doppelte Nullstelle ist immer ein ( lokales ) Extremum. "

Wir haben also schon ein Extremum ohne Ableitung; wirst sehen. Ich brauch gar keine Ableitung.
Ein Trick, den du unter keinenm Umständen kennen darfst. Da kannst du deinen Lehrer voll mit linken, weil der nicht vermutet, dass du das kennst: Abermals Diktat für FRS

" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie; sie verhalten sich PUNKT SYMMETRISCH zu ihrem Wendepunkt. "

Ergo a tergo; du hast drei kritische Punkte, Minimum, Maximum und Wendepunkt . Und wenn du zwei hast, hast du immer auch den dritten gemäß der Mittelwertbeziehung

{(x | y)}_{w} = \frac{1}{2} [(x | y) max + (x | y) min] (4)

Mit

(2; 3 b; 4)

findest du ohne jede Ableitung xmin

= 0,

xmax

= 4

.

woher weiß ich jetzt, was Minimum und Maximum ist? Wäre dein LK positiv, so würde die Regel gelten; diktat für FRS

" Jedes Polynom geht rechts asymptotisch gegen

(+ \infty)

Daher ist das RECHTESTE Extremum stets ein MINIMUM . "

Deine Situation ist allerdings gespiegelt wegen dem negativen LK . Und denk wieder an die Spiegelsymmetrie der Kurve bezüglich ihres Wendepunktes.
Mit so Sachen solltest du dich öfters an mich wenden. Schließlich willst du ja Weltmeister werden und nicht so ein Schlaffo wie unsere Nationalmannschaft

. .

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