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Kurvendiskussion, was ist hier gefragt

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Differenzierbarkeit, Funktion, Funktionalanalysis, Stetigkeit

DEU781 aktiv_icon

12:55 Uhr, 18.03.2018

Hey leute, ich bräuchte bitte eure Hilfe bei der Fragestellung des folgenden Beispiels:

Fuhren Sie eine Kurvendiskussion durch. (Definitionsbereich, Nullstellen, ¨
Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Grenzwerte, Asymptoten, (lokale/globale) Extrema,
Konkavit¨at/Konvexit¨at, Skizze)

f (x) = \frac{x^{2} \cdot | x | + 2 x}{x^{2} - 1}

Deffinitionsbereich und Nullstellen sind noch klar. Aber was ist zB. mit Stetigkeit und Differenzierbarkeit?
Die kann man doch nur in einem bestimmten Punkt bestimmen oder?
Was also ist die Fragestellung bei bei diesen Punkten?
Wird hier gefragt in welchen Punkten die Funktion Unstetig bzw. nicht differenzierbar ist? und wie finde ich das heraus?
Es ist übrigens kein Taschenrechner erlaubt.

Hoffe jemand kennt sich mit derartigen Fragestellungen bzw. Lösungen dafür aus.

Danke

Ps. Wie zeichnet man eine Skizze von so einer "komplizierteren" Funktion ohne Taschenrechner?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

13:23 Uhr, 18.03.2018

.
"Stetigkeit und Differenzierbarkeit?
Die kann man doch nur in einem bestimmten Punkt bestimmen oder?"

\to

genau so ist es -

also:
hast du zumindest einen "Verdacht" ?

\to

an welchen Stellen ist

f

zB unstetig ?

\to . .

.
?
.

DEU781 aktiv_icon

13:35 Uhr, 18.03.2018

Naja, ich hätte die Unstetigkeitsstellen an den Stellen vermutet die "x" nicht sein darf,
hier also 1 und

- 1

.

Das sind auch laut Taschenrechner unstetige Stellen. Aber kann ich das bei jeder Aufgabe einfach so machen?

Bzw. gerade ein bisschen herumprobiert und zu folgendem Schluss gekommen "hoffentlich kein Blödsinn":

Ich schaue mir speziell die X-Werte der Funktion, welche nicht verwendet werden dürfen, an und überprüfe in genau diesen Punkten auf Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit?

Obwohl, so finde ich ja auch nicht alle oder?
Bsp.

f (x) = | x |

ist ja auch im Punkt 0 definiert und trotzdem hier nicht differenzierbar.

Bin also wohl wieder am Anfang.

Die Frage bleibt also, wie finde ich alle Sprungstellen bzw nicht-differenzierbare Stellen?

abakus

14:22 Uhr, 18.03.2018

"Das sind auch laut Taschenrechner unstetige Stellen. Aber kann ich das bei jeder Aufgabe einfach so machen?"

Ein grundsätzlicher Fehler: Die sind dort nicht unstetig, weil ein Taschenrechner das anzeigt.
Sie sind dort auch OHNE Verwendung eines Taschenrechners unstetig.

Im Übrigen hast du ganz richtig erkannt, dass du die (aus unterschiedlichen Gründen) kritischen Stellen -1; 0 und 1 gesondert untersuchen musst.

DEU781 aktiv_icon

14:44 Uhr, 18.03.2018

Also habe ich das folgendermaßen richtig verstanden?:

Ich gebe den Definitionsbereich meiner Funktion an.
Dabei erhalte ich "kritische" Werte für

X,

die eben nicht sein dürfen (durch 0 teilen oder negative Zahl im

ln

etc.)

diese Kritische Stellen Überprüfe ich dann, und schaue ob sie da Differenzierbar, stetig sind.
Mit diesen Kritischen stellen kann ich dann doch auch Asymptoten bestimmen oder?

Falls das Stimmt:

Was mache ich bei Funktionen die keine "Kritischen" stellen haben: zB.

f (x) = | x |

rundblick aktiv_icon

14:48 Uhr, 18.03.2018

.
". Aber kann ich das bei jeder Aufgabe einfach so machen?"

ja

\to

es ist ganz einfach bei gebrochen rationalen Funktionen

f

so:
..

\to

wenn der NENNER des Quotienten den Wert 0 hat,

... .

. dann ist

f

an diesen Stellen schlicht NICHT DEFINIERT : dh es gibt keinen Funktionswert

... .

. also ist

f

an solchen Stellen auch nicht stetig oder gar diffbar. fertig.

\to

in solchen Fällen untersucht man dann an diesen Stellen

f

nach Pol - oder Lücken usw..

...

. also das Verhalten von

f

in einer Umgebung dieser Stellen.

und wenn der nummerierte Gast dir schreibt:
"dass du die (aus unterschiedlichen Gründen) kritischen Stellen

- 1; 0

und 1 gesondert untersuchen musst."

\to

dann darfst du dich ruhig darüber wundern was die " 0 " da soll?

und noch dazu: dein

f (x) = | x |

ist überall definiert, bei

x = 0

stetig aber dort nicht diffbar
wo ist da noch ein Problem?

.

DEU781 aktiv_icon

15:03 Uhr, 18.03.2018

Verstehe, das hat mir auf jeden Fall schon einmal sehr weitergeholfen...

Bei den X-Werten bei denen ich

/ 0

teile Habe ich weder Stetigkeit noch Differenzierbarkeit, und in den Meisten Fällen auch eine Polstelle (wenn ich mich nicht irre).

und wenn ich eine Funktion wie:

f (x) = ln (\frac{x^{2}}{| x + 2 |})

habe,

kann ich gleich sagen:

D : x

element aus

R

{

= 0, x = - 2}

0 und

- 2

muss ich mir dann halt genauer anschauen und auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit überprüfen.

sind hier 0 und

- 2

beides Sprungstellen?

DEU781 aktiv_icon

15:06 Uhr, 18.03.2018

→ dann darfst du dich ruhig darüber wundern was die " 0 " da soll?

Das hab ich schlicht überlesen, danke.
Also damit ist doch gemeint das die 0 da nicht hingehört oder? ;-)

rundblick aktiv_icon

15:15 Uhr, 18.03.2018

.
"Also damit ist doch gemeint das die 0 da nicht hingehört oder? ;-)"

so ist es :
bei deiner ursprünglichen Aufgabe ist die 0 sozusagen unkritisch eine friedliche Nullstelle von

f

nur irgendwelche Gäste scheinen das nicht zu sehen ?

bei deinem neu erfundenen ln-Beispiel ist das dann jedoch nicht so

. .

.

ach ja :
"in den Meisten Fällen auch eine Polstelle (wenn ich mich nicht irre)."
na ja .. Pole .. und im Falle du irrst dich da

\to

dann vielleicht Lücken, die Mann gelegentlich
sogar durch Def-Erweiterung schliessen könnte..(was aber bei deinem Beispiel nicht vorkommt)

Vorschlag:
mach doch jetzt mal weiter:
.. Asymptoten, (lokale/globale) Extrema,

. .

.

.

DEU781 aktiv_icon

15:38 Uhr, 18.03.2018

Alles klar,

Aber wie ist das bei meinem ln-Beispiel?
Hier sind 0 und

- 2

ja nicht definiert, folgt daraus automatisch das sie in diesem Punkt nicht stetig, und damit auch nicht differenzierbar sind?

Das kommt mir fast zu einfach vor, da ich damit ja sofort die Aufgaben (Definitionsbereich, Stetigkeit und Differenzierbarkeit) gelöst hätte...

Hm, zu den Asymptoten hätte ich gesagt:

Da bei dieser Gebrochen-rationalen Funktionen der Zähler gleich dem Nenner ist kann ich ja schon mal keine Schrägen oder Waagrechten Asymptoten haben oder?

-daher senkrechte Asymptoten bei 1 und

- 1

rundblick aktiv_icon

15:50 Uhr, 18.03.2018

.
"Aber wie ist das bei meinem ln-Beispiel?
Hier sind 0 und

- 2

ja nicht definiert,
folgt daraus automatisch das sie in diesem Punkt nicht stetig,.."

nun, du solltest dir angewöhnen , etwas sorgfältiger zu formulieren :

\to 0

und

- 2 . .

. sind doch sehr wohl definiert .. nicht definiert ist
an diesen Stellen

f (x) = ln (\frac{x^{2}}{| x + 2 |})

und: kannst du dir dies denn nicht merken: dort, wo es keinen Funktionswert gibt, dort
ist

f

natürlich auch nicht stetig usw.. fertig

!!

ach ja: bei den Asymptoten zu Beispiel 1 irrst du dich
schau genau hin , dann findest du vielleicht noch zwei Weitere..

.

DEU781 aktiv_icon

16:04 Uhr, 18.03.2018

Achso,

Mein Zählergrad ist ja höher, habe das

\cdot | X |

übersehen...

Nach einer Polynomdivision erhalte ich als Ergebnis

X

bzw.

- X

Ich habe also noch zwei Asymptoten mit der Steigung 1 bzw.

- 1

ohne Ordinatenabstand...

Also

A 1 (x) = X

und

A 2 (X) = - X

Ich hoffe das stimmt.

rundblick aktiv_icon

16:19 Uhr, 18.03.2018

.
"Ich habe also noch zwei Asymptoten mit der Steigung 1 bzw.

- 1

ohne Ordinatenabstand..."

lustig:

\to

was meinst du denn mit ->"ohne Ordinatenabstand" ??

ja, richtig ist :

wenn

x > 0,

dann ist die Gerade

y = x

für diesen Teil des Graphen von

f

Asymptote

wenn

x < 0,

dann ist die Gerade

y = - x

für diesen Teil des Graphen von

f

Asymptote

und: die Geraden

x = - 1

sowie

x = + 1

sind senkrechte Asymptoten (jeweils mit VZW.)

.

DEU781 aktiv_icon

16:30 Uhr, 18.03.2018

Alles klar,

Zu den globalen bzw. lokalen Extrema:

Meiner Ansicht nach gibt es hier auf jeden Fall einmal kein globales Maxima bzw. Minima.
Da ich hier ja eine schräge bzw. senkrechte Asymptote haben

\to

die Werte gehen also gegen unendlich und ich habe kein Intervall.

Wenn ich die Funktion ableite und

= 0

setze komme ich auf ein lokales Minima bei

x = 2,31

rundblick aktiv_icon

16:38 Uhr, 18.03.2018

.
" ich auf ein lokales Minima bei

x = 2,31

\to

ja, es gibt ein lokales Min. bei

x = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{33}}{2}} = 2,3178 ... .

\approx 2,32

abakus

17:57 Uhr, 18.03.2018

"Also damit ist doch gemeint das die 0 da nicht hingehört oder? ;-)"

Es ging in deinem Beitrag um Stetigkeit und um Differenzierbarkeit.

- 1

und 1 sind kritische Stellen, was die Stetigkeit angeht.
Zusätzlich dazu ist 0 eine kritische Stelle, was nur die Differenzierbarkeit angeht.

Genau darum habe ich diese drei Stellen als "(aus unterschiedlichen Gründen)" kritische Stellen genannt. Diese Feinheit der Formulierung hat ein rundumschlagender User wohl überlesen.

DEU781 aktiv_icon

18:22 Uhr, 18.03.2018

Aber bei Punkt

X = 0;

ist die Funktion doch ganz einfach differenzierbar?

abakus

18:26 Uhr, 18.03.2018

Gegenfrage: was ist die Ableitung von

| x |

an der Stelle

x = 0

?

Dass sich diese Stelle im Rahmen der Gesamtaufgabe dann als unkritisch erweist, ist ja eine ganz andere Geschichte. Auf alle Fälle muss man wegen der Betragsfunktion erst einmal fort genau hinschauen. Mehr habe ich nicht behauptet.

DEU781 aktiv_icon

18:40 Uhr, 18.03.2018

Grad wenn man dachte man hat es ungefähr verstanden:(

Bin da echt überfragt, laut Taschenrechner

\pm 1 . .

.

Also kann ich mir hier merken das die Ableitung von

| x |

bei

x = 0;

nicht möglich ist?

Weil gerade vor 5 Minuten ist mir ein weiteres Beispiel untergekommen:

\frac{x \cdot | x - 1 |}{x - 2}

Dachte zuerst hier wäre nur der Punkt

x = 2

interessant...
Aber scheinbar macht die Funktion bei

x = 1

auch einen knick (nicht Differenzierbar?) Das würde ganz gut zu dem passen was du gerade geschrieben hast.

ledum aktiv_icon

20:00 Uhr, 18.03.2018

Hallo
wenn irgenwo in einem Ausdruck

| x - a |

vorkommt muss man ihn genauer auf Differenzierbarkeit untersuchen an der Stelle

x = a

mit

a = 0

ist

z

B, | x |

bei

x = 0

nicht differenzierbar, dagegen ist

x \cdot | x |

oder

x^{2} \cdot | x |

differenzierbar, für

x > 0

ist

x \cdot | x | = x^{2}

für

x < 0

ist es

- x^{2}

beide Teilfunktionen haben bei 0 die Ableitung 0.
Gruß ledum

DEU781 aktiv_icon

19:10 Uhr, 19.03.2018

Vielen Dank an alle die mir geholfen haben.

DEU781 aktiv_icon

21:04 Uhr, 19.03.2018

Vielen Dank für die Hilfe!

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