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Kurvenintegral

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Integration

Tags: Integration, mehrere Variablen

Mathismydrug

11:03 Uhr, 22.11.2018

Guten Morgen,
folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:
Berechnen Sie für die Funktion

f (x, y) = x {(\frac{1}{2} x^{2} + 3 y^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}

das Kurvenintegral über die Ebene Kurve, die vom Punkt

(2,0)

längs der Funktion

C : x^{2} - 4 y^{2} = 4

zum Punkt

(2 \sqrt{2}, 1)

verläuft. Gegeben ist folgende Parametisierung von

C :

(x (t), y (t)) = (2 \sqrt{t^{2} + 1}, t), 0 \leq t \leq 1

Ich weiß überhaupt nicht, wie ich an die Aufgabe heran gehen soll. Ich bin neu in dem Thema und habe die entsprechende Vorlesung leider krankheitsbedingt versäumt und habe nun Probleme, überhaupt einen richtigen Ansatz zu finden, also bitte überspringt in eurer Erklärung keine ,einfachen‘ Punkte. Mein vermutlich falsches Vorgehen sah bisher so aus, dass ich die Parametrierung abgeleitet habe und in die nach 0 aufgelöste Funktion

C

eingesetzt habe und mit sqrt(xˋ(t)^2*yˋ(t)^2) multipliziert habe. Das Integral davon hab ich dann in die Grenzen von 0 bis 1 gesetzt.
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

14:39 Uhr, 22.11.2018

Hossa :-)

Normalerweise werden Kurvenintegrale über Vektorfeler (z.B. Kraftfelder) entlang eines Weges definiert. Hier ist jedoch ein Skalarfeld gegeben. Das Ergebnis ist daher auch kein Skalar, sondern ein Vektor. Der Vektorcharakter wird von dem Differential

d \vec{r}

getragen. Also, langer Rede kurzer Sinn, du sollst Folgendes berechen:

\vec{I} = \int_{C : {\vec{r}}_{0}}^{C : {\vec{r}}_{1}} f (x, y) d \vec{r} = \int_{C : (2, 0)}^{C : (2 \sqrt{2}, 1)} x {(\frac{1}{2} x^{2} + 3 y^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} d \vec{r}

Das Ergebnis hängt in der Regel vom gewählten Weg

C

ab. Hier ist der Weg wie folgt vorgegeben:

C : \vec{r} (t) = (\begin{array}{c} x (t) \\ y (t) \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \sqrt{t^{2} + 1} \\ t \end{array}); t \in [0; 1]

Mit Hilfe dieser Parametrisierung kannst du

x = x (t)

und

y = y (t)

im Integranden einsetzen, sodass dieser nur noch von

t

abhängt. Weiter kannst du mit der Parametrisierung das Differential

d \vec{r}

durch

d t

zu ersetzen:

\frac{d \vec{r}}{d t} = (\begin{array}{c} \frac{2 t}{\sqrt{t^{2} + 1}} \\ 1 \end{array}) \Rightarrow d \vec{r} = (\begin{array}{c} \frac{2 t}{\sqrt{t^{2} + 1}} \\ 1 \end{array}) d t

Alles zusammengebaut hast du das Integral auf eine einfache Integration über

t

zurückgeführt:

\vec{I} = \int_{0}^{1} \underset{= x (t)}{\underset{⎵}{2 \sqrt{t^{2} + 1}}} \cdot {(\frac{1}{2} {(\underset{= x (t)}{\underset{⎵}{2 \sqrt{t^{2} + 1}}})}^{2} + 3 \cdot (\underset{= y (t)}{\underset{⎵}{t}})^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \underset{= d \vec{r}}{\underset{⎵}{(\begin{array}{c} \frac{2 t}{\sqrt{t^{2} + 1}} \\ 1 \end{array}) d t}}

\vec{I} = \int_{0}^{1} 2 \sqrt{t^{2} + 1} \cdot {(5 t^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot (\begin{array}{c} \frac{2 t}{\sqrt{t^{2} + 1}} \\ 1 \end{array}) d t

Denk daran, beide Komponente,

I_{1}

und

I_{2}

, des Ergebnisses zu berechnen.

korbinian aktiv_icon

15:04 Uhr, 22.11.2018

Hallo,
ich hätte das als Wegintegral 1. Art aufgefasst. Das Ergebnis ist ein Skalar. vgl.
de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral
gruß
korbinian

DerDepp aktiv_icon

16:27 Uhr, 22.11.2018

Hossa :-)

Kommt drauf an, ob über

d \vec{r}

oder über

d r

integriert werden soll. Mir ist da schon so ziemlich alles untergekommen:

\int_{C} \vec{A} (\vec{r}) \cdot d \vec{r}; \int_{C} Φ (\vec{r}) d \vec{r}; \int_{C} Φ (\vec{r}) d r; \int_{C} \vec{A} (\vec{r}) \times d \vec{r}; \int_{C} \vec{A} (\vec{r}) d r

Physiker halt, man nimmt, was kommt. Das Prinzip ist aber immer dasselbe, Parametrisierung

\vec{r} (t)

ableiten und das Integral auf Integration über

t

zurückführen. Bei

d r

leitet man den Betrag des Vektors

\vec{r}

ab und bei

d \vec{r}

den Vektor selbst.

Mathismydrug

17:25 Uhr, 22.11.2018

Vielen Dank für die Antwort! Da muss ich mich erstmal durcharbeiten

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