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Kurvenintegral

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Differentialgeometrie

Tags: Differentialgeometrie, Kurvenintegral

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22:18 Uhr, 26.06.2012

Hallo Leute,

hab hier ein Beispiel, bei dem ich nicht weiterkomme: Berechnen sie für das Kraftfeld

$\vec{f_{1 (x, y)}} = (\begin{matrix} x^{2} - y \\ x + y^{2} \end{matrix}) N / m^{2}$

das Kurvenintegral auf dem Weg zwischen dem Punkt P(0,1) und dem Punkt Q(1,2) und zwar auf direktem Weg.

Hinweis: 1.Hauptsatz für Kurvenintegrale verwenden, wenn möglich.

Tja, und dieser Hinweis ist nun mein Problem, was sagt der 1.Hauptsatz für Kurvenintegrale aus? Kann mir das jemand erklären? Würd mich auch darüber freuen wenn mir jemand dieses bsp. vorrechen könnte. Ich hab ein derartiges bsp. noch nie gerechnet.

Hier noch die Definition des Hauptsatzes; auf seite 15 steht: http://www.mathe.tu-freiberg.de/~bernstei/HMII/Kurven.pdf

Lg Troubles

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathe-Steve aktiv_icon

22:40 Uhr, 26.06.2012

Hallo,
Dein Link existiert nicht.
Gruß
Stephan

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22:59 Uhr, 26.06.2012

Oh sorry, jetzt funktioniert er.

Mathe-Steve aktiv_icon

23:07 Uhr, 26.06.2012

Und wo ist jetzt Dein Problem mit dem Hauptsatz?

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23:24 Uhr, 26.06.2012

Hallo Mathe-steve,

was bedeutet dieses $\vec{γ}$ in $f (\vec{γ} (b))$

f ist doch eine Funktion abhängig von einem Vektor der wiederum von b abhängt.

Wie kann ich übehaupt so ein Kraftfeld, welches in Vektorform gegeben ist, integrieren?

Mathe-Steve aktiv_icon

23:28 Uhr, 26.06.2012

Die Funktion f hat mehrere Variable und die werden als Vektor aufgefasst.

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23:55 Uhr, 26.06.2012

Hab mal ein bisschen weitergelesen.

Wen ich das Vektorfeld als Gradientenfeld darstellen kann, dann kann ich den 1. Hauptsatz verwenden und muss daher nur meine Punkte in die Funktion $γ$ einsetzen. Es gilt $\vec{A} = g r a d γ$

A ist ein Vektorfeld.

Stimmt meine Überlegung?

Mathe-Steve aktiv_icon

07:58 Uhr, 27.06.2012

Mal ein Beispiel: zu integrieren ist

{(2 x + y; x)}^{T}

von

(0; 0)

bis

(2; 3)

auf geradem Weg.

(2 x + y; x)

ist der Gradient von

x^{2} + x \cdot y

Der Weg hat

z . B

die Parametrisierung

(2 t; 3 t), 0 \leq t \leq 1

Um das Integral zu berechnen, setzt Du die Parametrisierung in

f

ein:

{(2 t)}^{2} + 2 t \cdot 3 t = 10 t^{2}

Noch die Grenzen

10 \cdot 1^{2} - 10 \cdot 0^{2} = 10

pwmeyer aktiv_icon

09:46 Uhr, 27.06.2012

Hallo,

ich sehe nicht, dass das gegebene Feld ein Potential hat. Liegt eventuell ein Druckfehler vor?

Gruß pwm

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10:29 Uhr, 27.06.2012

@Steve: Dein Beispiel hat einiges klarer gemacht, nur wie komme ich von dem gegebenen Kraftfeld,

$\vec{f_{1 (x, y)}} = (\begin{matrix} x^{2} - y \\ x + y^{2} \end{matrix})$

auf die Funktion von der der Gradient eben dieser Vektor ist? Bei deinem bsp. sieht man es gleich. Gibts da auch eine Vorgehensweise an die man sich halten kann?

Der Gradient von $x^{3} / 3 - x * y + y^{3} / 3$ währe ja nahe drann :(

@pwm: Ist das Potential wichtig bei diesem Beispiel?

pwmeyer aktiv_icon

10:38 Uhr, 27.06.2012

"Potential" ist nur ein anderes Wort für das Skalarfeld, von dem

f

das Gradientenfeld sein soll, also gerade das, was Du suchst.

Wenn es kein solches Potential gibt, musst Du direkt die Definition des Kurvenintegrals benutzen.

Gruß pwm

Mathe-Steve aktiv_icon

11:27 Uhr, 27.06.2012

Mache eine Parametrisierung in

t

des Wegs, so dass er bei

t_{0}

beginnt und bei

t_{1}

endet.
Bilde die Ableitung nach

t

. Das ist wieder ein Vektor
Setze die Parametrisierung in den zu integrierenden Vektor ein und bilde das Skalarprodukt mit dem Ableitungsvektor der Parametrisierung.
Integriere über

t

von

t_{0}

bis

t_{1}

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12:15 Uhr, 27.06.2012

Wie bestimm ich denn die Integrationsgrenzen

t_{0}, t_{1}

?
Wo muss ich die beiden gegebenen Punkte

P (0,1)

und

Q (1,2)

einsetzen damit ich die Grenzen bestimmen kann, hab schon eine weile gegoogelt aber nichts brauchbares gefunden.
Das Integrieren und Parametrisiern funktioniert nun schon ganz gut, aber die Integrationsgrenzen bereitn noch Schwierigkeitn.

In deinem bsp. vorher:
zu integrieren ist

{(2 x + y; x)}^{T}

von

(0; 0)

bis

(2; 3)

auf geradem Weg.

(2 x + y; x)

ist der Gradient von x2+x⋅y
Der Weg hat

z . B

die Parametrisierung

(2 t; 3 t),

0≤t≤1

Wie würde die Parametrisierung und der Integrationsweg aussehen, wenn von

(0; 1)

bis

(2; 3)

zu integrieren ist?

Mathe-Steve aktiv_icon

12:34 Uhr, 27.06.2012

Für eine gerade Verbindung von

P

nach

Q

bilde die Parameterform der Gerade, also

P + t \cdot (Q - P)

Für

t = 0

kommt dann

P

und für

t = 1

kommt

Q

heraus.
In Deinem Beispiel also

(0; 1) + t \cdot (2; 2) = (2 t; 1 + 2 t)

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13:47 Uhr, 27.06.2012

Die Integrationsgrenzen lauten daher

t_{0} = 0

und

t_{1} = 1

. Ist das Richtig?

Mathe-Steve aktiv_icon

14:33 Uhr, 27.06.2012

Ja genau.

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14:35 Uhr, 27.06.2012

Für die Punkte

P = (0,0)

und

Q = (1,1)

würd nun herauskommen:

\int_{0}^{1} (\begin{matrix} t^{2} - t \\ t + t^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) d t = \int_{0}^{1} 2 t^{2} d t = - \frac{2}{3}

Da die Punkte jedoch die Koordinaten

P = (0,1)

und

Q = (1,2)

haben, muss ich für

x = 2 t

und für

y = 1 + 2 t

einsetzen.

\int_{0}^{1} (\begin{matrix} 4 t^{2} - 1 - 2 t \\ 2 t + {(1 + 2 t)}^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) d t = \frac{28}{3}

Das müsste doch nun endlich mal stimmen oder?

Rabanus aktiv_icon

14:50 Uhr, 27.06.2012

"Das müsste doch nun endlich mal stimmen oder?"

Nö, das 'oder' stimmt !

t = 0 : x = 0

und

y = 1 \Rightarrow P

t = 1 : x = 2

und

y = 3 \neq Q

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15:03 Uhr, 27.06.2012

Oah, hab mich mit der Parametrisierung vertan:

für

x = t

und für

y = 1 + t

gilt nun:

\int_{0}^{1} (\begin{matrix} t^{2} - 1 - t \\ t + {(1 + t)}^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}) d t = \frac{5}{3}

Kann ma jetzt des "oder" weglassen?

Rabanus aktiv_icon

15:05 Uhr, 27.06.2012

"Kann ma jetzt des "oder" weglassen?" JO !

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16:05 Uhr, 27.06.2012

Habs endlich verstanden :-)
Danke an alle für die geduldige Hilfe!

Lg Troubles

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