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Integration

Tags: Integration

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14:24 Uhr, 14.06.2013

hallo

bei folgender aufgabe komm ich nicht weiter:

K_{1}

und

K_{2}

sind zwei Kurven im

ℝ^{2}

mit Anfangspunkt

{(- 1,0)}^{T}

und Endpunkt

{(1,1)}^{T}

.

Für das Vektorfeld:

v (x, y) = {(- y, x)}^{T}

berechne man

A_{i} = \int_{K_{i}} v

ds

also ich hab mir überlegt, das vektorfeld zu parametrisieren. ich hätte folgende parametrisierung gewählt:

x (t) = (\begin{matrix} - sin (t) \\ cos (t) \end{matrix})

(polarkoordinaten)

in den lösungen steht aber folgender weg, den ich überhaupt nicht verstehe:

für das Integral über

K_{1}

vorerst mal:
1.

x (t) = (\begin{matrix} - cos (t) \\ sin (t) \end{matrix}), x' (t) = (\begin{matrix} sin (t) \\ cos (t) \end{matrix}), t \in [0, \frac{π}{2}]

x (t) = (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}), x' (t) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), t \in [0,1]

\Rightarrow A_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {- {sin}^{2} (t) - {cos}^{2} (t)} d t + \int_{0}^{1} (- 1) d t ...

.

das integral zu berechnen wäre ja keine schwierigkeit. aber ich peil überhaupt nicht, wie man darauf kommt. erstens: wie kommt man auf diese parametrisierung und weshalb muss man zweimal parametrisieren. zweitens: wie kommt man dann auf diesen ausdruck für das integral?

tut mir leid, aber ich sitz jetzt schon etwas über ne stunde an dieser aufgabe und krieg nicht raus wie man darauf kommt. wäre wirklich froh, wenn mir jemand schön schritt für schritt erklären könnte, wie man so eine aufgabe angeht. :-P)

vielen dank :-D)

pwmeyer aktiv_icon

12:24 Uhr, 15.06.2013

Hallo,

aus dem, was Du zitiert hast, kann ich auch nicht entnehmen, warum die Kurvenparametrisierungen so gewählt worden sind.

"zweitens: wie kommt man dann auf diesen ausdruck für das integral?" Das ist doch die Anwendung der Definition eines Kurvenintegrals?

Gruß pwm

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20:38 Uhr, 15.06.2013

vielen dank für deine antwort. ich hab grad gemerkt, dass ich vergessen hab die skizze für die kurven

K_{1}

und

K_{2}

ist hochzuladen. allerdings kann ich mir nicht vorstellen, wie diese für die parametrisierung helfen soll. es steht wirklich nichts dazu wieso die parametrisierung so gewählt wird.

zu zweitens:

also die definition lautet ja:

\int_{B} v

= \int_{a}^{b} v (x (t)) x' (t) d t

wobei

B

die parametrisierte Kurve bezeichnet, über die integriert wird und

a, b

end- bzw anfangspunkt der kurve ist.

das "woher" der parametrisierung mal ausser acht gelassen würde das dann doch geben:

A_{1} = \int_{a}^{b} v ((t)) x' (t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\begin{matrix} - cos (t) \\ sin (t) \end{matrix}) (\begin{matrix} sin (t) \\ cos (t) \end{matrix}) d t + \int_{0}^{1} (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 0 d t + \int_{0}^{1} t d t = \int_{0}^{1} t d t = \frac{1}{2}

und nochmals eins zu eins was in den lösungen steht (die parametrisierung schreib ich nicht nomals :-P))

A_{1} = \int_{K_{1}} {- y d x + x d y} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {- {sin}^{2} (t) - {cos}^{2} (t)} d t + \int_{0}^{1} (- 1) d t = ... = - (1 + (\frac{π}{2}))

also daraus werd ich irgendwie nicht schlau. :-D)

lepton

01:54 Uhr, 16.06.2013

1. dein Wert des Integrals stimmt mit dem Musterwert deshalb nicht überein, weil du

\vec{v} (\vec{x} (t))

falsch ausgerechnet hast, achte auf die jeweiligen Koordinaten.

2. Wenn man sich die beiden Teilkurven genauer anschaut, so setzt sich

K_{1}

aus dem Viertelkreis im II. Quadranten + der horizontalen Gerade

(0, 1) \to (1, 1)

zusammen.
Deshalb gilt die Parametrisierung für

K_{1}

. Bei

K_{2}

ist eine direkte Verbindungsstrecke, so dass gilt:

\vec{γ} (t)_{2} = (2 t - 1, t)^{T}, t, \in [0, 1]

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14:37 Uhr, 17.06.2013

vielen dank für deine antwort. ach ja, das mit der parametrisierung seh ich jetzt auch ein. danke. den fehler hab ich glaub auch gefunden. ich komme jetzt sogar auf das selbe wie in den lösungen, bis auf das vorzeichen:

x_{1} (t) = (\begin{matrix} cos (t) \\ sin (t) \end{matrix}), x_{1}' (t) = (\begin{matrix} - sin (t) \\ cos (t) \end{matrix}), t \in [0, \frac{π}{2}]

\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} (\begin{matrix} - sin (t) \\ cos (t) \end{matrix}) (\begin{matrix} - sin (t) \\ cos (t) \end{matrix}) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {sin}^{2} (t) + {cos}^{2} (t) d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} d t = \frac{π}{2}

also das ist jetzt nur mal für das kreissegment, das integral über das gerade teilstück von

K_{1}

müsste man natürlich noch addieren:

x_{2} (t) = (\begin{matrix} t \\ 1 \end{matrix}), x' (t) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), t \in [0,1]

\Rightarrow \int_{0}^{1} (\begin{matrix} - 1 \\ t \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) d t = \int_{0}^{1} (- 1) d t = - 1

\Rightarrow \int_{K_{1}} v (x) d s = \frac{π}{2} - 1 \neq - \frac{π}{2} - 1

(was in den lösungen steht)

in der parametrisierung im lösungsweg kommt auch ein

- cos (t)

anstelle

cos (t)

vor. daher auch das negative vorzeichen. aber wieso steht da ein(-1) vor dem

cos (t)

lepton

15:53 Uhr, 17.06.2013

Wenn der Umlaufsinn im Uhrzeigersinn positiv bei euch definiert ist, dann ist - cos(t) in der Parametrisierung korrekt, da cos < 0 im II. Quadranten und sin > 0.

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22:04 Uhr, 17.06.2013

hallo

das macht durchaus sinn. naja, an sowas muss man auch erst denken. :-P)
vielen dank für eure hilfe!

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22:06 Uhr, 17.06.2013

ach eine frage ist mir zwar noch eingefallen. wäre das demfall das selbe, wie wenn man es mit

(\begin{matrix} cos \\ sin \end{matrix})

parametrisiert astelle von

(\begin{matrix} - cos \\ sin \end{matrix})

und dafür die integrationsgrenzen von

\frac{π}{2}

nach

π

laufen lässt?

lepton

23:54 Uhr, 17.06.2013

Kann man schon, nur dann würde sich aber die Umlaufrichtung ändern, das Resultat bleibt aber gleich, wenn man bedenkt, dass gilt:

\int_{γ} \vec{v} (\vec{x}) \dot{\vec{x}} d t = - \int_{- γ} \vec{v} (\vec{x}) \dot{\vec{x}} d t .

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08:58 Uhr, 18.06.2013

gut, dann kapier ich das jetzt. vielen dank nochmals :-D)

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