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Integration

Tags: Integration, Kurvenintegral

Dream123 aktiv_icon

17:22 Uhr, 24.02.2018

Hallo, könnt Ihr mir bitte bei dieser Aufgabe hier helfen.

Berechnen Sie für den abgebildeten Weg die Integrale

\oint_{C} f_{4} (x) \cdot d x

und

\oint_{C} f_{0} (x) \cdot d x

Also ich beschreibe mal den Weg, der in dieser Aufgabe in ein Koordinatensystem eingezeichnet wurde. Begonnen wird bei

(0,0)

zum Punkt

(1,1)

. Und vom Punkt

(1,1)

geht es zu

(1,0)

. und von

(1,0)

wieder zu

(0,0)

. Der Weg ist ein rechtwinkeliges Dreieck.

Meine Frage ist nun, wie parametisiere ich diesen Weg?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

18:21 Uhr, 24.02.2018

Von

(0, 0)

(1, 1)

(t, t)

t \in [0, 1]

.
Von

(1, 1)

(1, 0)

(1, 1 - t)

t \in [0, 1]

usw.

Dream123 aktiv_icon

18:27 Uhr, 24.02.2018

Ich verstehe nicht ganz wie sie darauf gekommen sind.
Warum ist von

(0,0)

(1,1) : (t, t)

?
Und von

(1,1)

zu(1,0)

(1,1 - t)

woher wissen Sie das?

DrBoogie aktiv_icon

18:56 Uhr, 24.02.2018

Ich sehe das einfach, der Vorteil der jahrzehnterlangen Erfahrung. :-)
Wenn man weniger Erfahrung hat, dann lernt man von der Erfahrung der anderen. ;-)
Parametrisierung ist eine Kunst, Regeln gibt's keine dafür.
Aber dass man den Weg von

(0, 0)

(1, 1)

durch

(t, t)

parametrisieren kann, ist doch offensichtlich. Man geht einfach entlang der geraden Strecke.
Es gibt natürlich auch unendlich viele andere Parametrisierungen.

Dream123 aktiv_icon

10:44 Uhr, 25.02.2018

Muss man immer schauen, dass wenn man die Kurve parametrisiert die herausgefundene Parametrisierung, wenn man hier

[0,1]

einsetzt beim Start und Endpunkt ankommt. Also sprich

(\begin{matrix} t \\ t \end{matrix})

weil wenn man

[0,1]

einsetzt, erhält man ja wieder den Startpunkt

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

und Endpunkt

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

.

Dann für den Weg von

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 \\ 1 - t \end{matrix}),

weil wenn man wieder

[0,1]

einsetzt erhält man wieder den Startpunkt

((\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und Endpunkt

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

.

Dann für den Weg

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 - t \\ 0 \end{matrix})

wieder für

t \in [0,1],

weil man wieder Startpunkt

(1,0)

und Endpunkt

(0,0)

erhält.

Stimmt so die Überlegung???

DrBoogie aktiv_icon

10:54 Uhr, 25.02.2018

"Stimmt so die Überlegung???"

Ja.
Wobei man nicht dazu verpflichtet ist, mit

[0, 1]

zu parametrisieren. Aber das ist die übliche Wahl.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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