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Kurvenintegral mit Gauss

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Tags: Funktion, Integration, Kurvenintegral, Satz von Gauss

Florentine1996 aktiv_icon

19:37 Uhr, 18.12.2016

Hallo,
folgendes Kurvenintegral muss ich mittels Satz von Gauss berechnen: Der Rand

δ Ω

des Integrationsbereichs

B

wird dabei als positiv orientiert vorausgesetzt.

\int_{δ Ω} e^{x} sin y d x + e^{x} cos y d y

B = \bar{U_{3} ((0,0))}

Die Frage ist, was soll genau das

B

sein. Ein Kreis mit Radius 3 um

(0,0)

?

Ich würde dann so weiterrechnen.

\int \int_{B} (\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}) d A

mit

F_{1} = e^{x} sin y

und

F_{2} = e^{x} cos y

Dann folgt:

\int \int_{B} (\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}) d A = \int \int_{B} (e^{x} - cos y) d x d y

Die Frage ist, wie sehen die Grenzen jetzt aus? Ich hoffe der Rest stimmt. Ich würde mich über Tipps sehr freuen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Florentine1996 aktiv_icon

00:50 Uhr, 19.12.2016

Kann mir jmd bitte weiterhelfen?

DrBoogie aktiv_icon

08:04 Uhr, 19.12.2016

"Ein Kreis mit Radius 3 um (0,0)?"

Ja.

"Ich hoffe der Rest stimmt."

Die Ableitungen stimmen nicht.

Florentine1996 aktiv_icon

08:27 Uhr, 19.12.2016

Ich sehe den Fehler nicht??
Wie kann ich dann mein Integral berechnen, also wie kriege ich die Grenzen?

DrBoogie aktiv_icon

10:25 Uhr, 19.12.2016

Als Ableitungen bekommst Du zweimal

e^{x} \cos (y)

. Also ist das Integral

0

, die Grenzen spielen keine Rolle.

Florentine1996 aktiv_icon

10:29 Uhr, 19.12.2016

aso danke:-)))
Ist es bei diesem Integral genauso:

\int_{δ Ω} 2 y d x + 6 x d y

.

Nach dem Satz von gaus ist doch die Divergenz 0 also

\int ... = 0

HilbertRaum aktiv_icon

11:48 Uhr, 19.12.2016

Florentine, du bist im 2-dim.
Wenn man in deiner Notation setzt:

F_{1} = 2 y, F_{2} = 6 x

und (um zu einem Vektorfeld zu gelangen)

\vec{(} A) = (\begin{array}{rcl} A_{x} \\ A_{y} \\ 0 \end{array})

und

F_{1} d x + F_{2} d y = A_{x} d x + A_{y} d y = \vec{A} d \vec{x}

Dann lautet Stokes:

\int_{Ω} r o t \vec{A} \vec{n} d f = \oint_{δ Ω} \vec{A} \vec{x}

mit

\vec{x} = (\begin{array}{rcl} d x \\ d y \\ d z \end{array})

Weil:

\vec{n} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

und

\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y} = (r o t \vec{A})_{z} = r o t \vec{A} \vec{n}

Also: rot ist hier eher interessant.

Florentine1996 aktiv_icon

12:07 Uhr, 19.12.2016

danke HilbertRaum.

D . h

das Ergebnis müsste 4 sein?

DrBoogie aktiv_icon

12:20 Uhr, 19.12.2016

Kannst Du erklären, warum Du in den dreidimensionalen Raum gehst? :-O
Aus meiner Sicht ist es falsch.
Hier geht es um einfache Anwendung von diesem Satz:
de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Green

HilbertRaum aktiv_icon

14:19 Uhr, 19.12.2016

Ja, weil Florentine die Divergenz ins Spiel gebracht hat (die wird häufig im 3-dim. betrachtet, aber natürlich nicht ausschliesslich).

Da nun schon ein Vektor-Diff.Op. im Spiel ist, habe ich Stokes eben so dargestellt (allerdings sollte rot verwendet werden).

DrBoogie, aus deiner Sicht ist das falsch. Aber vielleicht kannst du doch noch mal scharf hinschauen um zu erkennen, dass es evtl. doch richtig ist.
Aber du auch gerne versuchen, mich vom Gegenteil zu überzeugen.

DrBoogie aktiv_icon

15:24 Uhr, 19.12.2016

"Ja, weil Florentine die Divergenz ins Spiel gebracht hat (die wird häufig im 3-dim. betrachtet, aber natürlich nicht ausschliesslich)."

Das spielt doch keine Rolle, was sie ins Spiel gebracht hat.
Wenn sie von projektiven Varietäten geschrieben hätte, würdest Du dann diese Aufgabe mit dem Satz von Kodaira lösen wollen? :-O

"Da nun schon ein Vektor-Diff.Op. im Spiel ist, habe ich Stokes eben so dargestellt (allerdings sollte rot verwendet werden)."

Wo ist hier ein "Vektor-Diff.Op." im Spiel?
Es geht hier eindeutig um einen Kurvenintegral in der zweidimensionalen Ebene.

"Aber du auch gerne versuchen, mich vom Gegenteil zu überzeugen."

Muss ich das wirklich? Ich bin ein promovierter Mathematiker, ich muss niemanden überzeugen. :-)

Nur Schade um Studenten, welche dann solche "Hilfe" bekommen. :(

HilbertRaum aktiv_icon

16:53 Uhr, 19.12.2016

DrBoogie, warum sollte ich dir erklären müssen, wo der Vek.Diff.Op. ins Spiel gekommen ist??? Dass er das ist, ist doch offensichtlich, denn der wird geöhnlich bei der Bildung der Divergenz genutzt (ich rede von Nabla, das muss ich dir auch nicht erklären...)

Es gibt verschiedene Wege, die ich zu Ber. derartiger Integrale nutzen kann. Und da "nur" von Kurvenintegral zu sprechen, ist eben nur die halbe Wahrheit - denn ich kann z.B. genausogut über ein Gebiet int., um ans Ziel zu kommen.

DrBoogie aktiv_icon

17:03 Uhr, 19.12.2016

"Es gibt verschiedene Wege, die ich zu Ber. derartiger Integrale nutzen kann"

Ja, aber es gibt einen einfachen Weg, der in zwei Zeilen das Ergebnis liefert. Wozu dann das Rad neu erfinden?
Noch mal - in diesem Forum geht es darum, Studenten auf dem schnellsten und einfachsten Wege zu helfen, das ist die Philosophie von diesem Portal.

Die Lösung:

\int_{δ Ω} 2 y d x + 6 x d y =

{Satz von Green-Gauss}

= \int_{Ω} 4 d x d y = 4 S (Ω)

, wo

S (Ω)

die Fläche von

Ω

ist, also

π \cdot 3^{2}

in diesem Fall. Fertig.

HilbertRaum aktiv_icon

08:53 Uhr, 20.12.2016

Ich möchte eigentlich diese Diskussion nicht ausdehnen, möchte aber auch die Aussage "Aus meiner Sicht ist es falsch." nicht so stehen lassen.

Und: "Ja, aber es gibt einen einfachen Weg, der in zwei Zeilen das Ergebnis liefert. "
Ja, sicher. Es geht beim Studium auch um Erkenntnisgewinn, daher ist ein etwas erweiterter Blick durchaus gerechtfertigt.

Gerade bei der Integration entlang von Wegen stellt sich die Frage nach Wegunabhängigkeit. Das ist z.B. interessant für die Berechnung von Arbeit entlang eines Weges. Stichwort konservatives Kraftfeld, Existenz eines Potential.
Und hier erkennst du hoffentlich, DrBoogie, die Analogie der Aufgabe (die kann ich nämlich als Kraftfeld auffassen und evtl. einen Erkenntnisgewinn erzielen). Genau deshalb habe ich den Weg mit der Rotation eingeschlagen (der Trigger war die von Florentine ins Spiel gebrachte Divergenz)! Ist die Rotation 0, so liegt Wegeunabhängigkeit vor, usw. usw....

So, nun noch der Nachweis der Richtigkeit meiner Darstellung:

\int_{Ω} r o t \vec{(} A) \vec{n} d f = \int_{Ω} r o t \vec{(} A)_{z} d f = \int_{x^{2} + y^{2} \leq 3} (\frac{\partial F_{2}}{\partial x} - \frac{\partial F_{1}}{\partial y}) d x d y = \int_{x^{2} + y^{2} \leq 3} (6 - 2) d x d y = 4 \int_{x^{2} + y^{2} \leq 3} d x d y = 4 π 3^{2}

DrBoogie aktiv_icon

10:20 Uhr, 20.12.2016

Upps, und jetzt machst Du plötzlich dieselbe Berechnung wie ich, die dreidimensionalen Vektoren sind unter den Teppich gekehrt. :-)
Lass das bitte, das braucht keine.

HilbertRaum aktiv_icon

10:42 Uhr, 20.12.2016

Ich geb's auf... - das ist ganz sauber hingeschrieben und korrekt, die 3-dim V. siehst du ganz links... (steht so natürlich nicht in Wikipedia...).

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