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Kurvenintegral mit Potential

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

laurella1 aktiv_icon

19:07 Uhr, 16.02.2015

Hallo Leute,

Meine Aufgabe lautet:

Es sind folgende Vektorfelder gegeben:

f (x, y) = {(e^{x \cdot y}, e^{x + y})}^{T}

g (x, y) = \frac{e^{x + y}}{{(1 - e^{x + y})}^{2}} \cdot {(1, 1)}^{T}

h (x, y) = {(2 \cdot x \cdot y, x^{2} + 3 y^{2})}^{T}

Sei

K

ein Quadrat mit den Eckpunkten

A (0,1) B (1,0) C (0, - 1) D (- 1,0)

. Berechnen Sie dass Kurvenintegral der Funktionen

f, g

und

h

entlang des Randes von

K

im Uhrzeigersinn.

Meine Ideen:

In der Aufgabe zuvor musste man die Potentiale der Vektorfelder berechnen falls sie welche besitzen.

f

besitzt kein potential

g

besitzt eines und zwar:

φ = \frac{2}{1 - e^{x + y}} + c

h

besitzt auch eines und zwar:

φ = x^{2} \cdot y + y^{3} + c

Die Formel für das Kurvenintegral erster Art lautet ja:

\int F (γ (t)) \cdot γ (t)' d t

Wenn man allerdings das Potential schon berechnet hat und eine Strecke A nach

B

anhand von Punkten gegeben ist gibt es eine vereinfachung die lautet:

\int F d x = [φ (γ (t)]

von A nach

B

= φ (B) - φ (A)

also dachte ich man kann hier mit dieser Formel arbeiten nur hänge ich hier und weiß nich wie ich sie auf dieses Beispiel anwenden soll. Vor allen Dingen bei dem Vektorfeld

f

das ja kein Potential besitzt.

Schonmal danke für eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

20:16 Uhr, 16.02.2015

Hallo
da du das Integral über einen geschlossenen Weg hast, und ein Potential, sind die 2 Integrale

= 0 = φ (a) - φ (a)

das erste musst du einfach ausrechnen durch vier Teilintegralem über die einzelnenparametrisierten Wege
Allerdings seh ich da ein Parallelogramm , ABCD kein Quadrat? hast du die Punkte richtig?
Gruß ledum

laurella1 aktiv_icon

20:52 Uhr, 16.02.2015

Ah super dann hab ichs ja praktisch schon gehabt. Dachte da kann was nicht stimmen wenn 0 heraus kommt. Also in der Aufgabe steht Quadrat...habs mir noch nicht aufgezeichnet. Vielen Dank!

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