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Kurvenintegral und Cauchy-Integral

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Kurvenintegral

 
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pinkp

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22:16 Uhr, 15.09.2020

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Teil A

Mit Parametriesierung
x=rcosπ
y=rsinπ

und Integration von 0 bis π von r3dπ
habe ich 4π als Ergebnis

Ist der Ansatz hier richtig?

Teil B

Welcher Ansatz kann man hier anwenden?

Teil C

Ich habe mit Cauchy Integralsatz berechnet und 2πicos(1π) rausbekommen

Ist der Ansatz hier richtig?

WS1819

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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DrBoogie

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22:29 Uhr, 15.09.2020

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Erstens: es ist äußerst unglücklich, eine Variable π zu nennen.
Zweitens: woher kommt r3?
Drittens, wenn du von 0 bis π integrierst, integrierst du nur über den rechten Rand der halben Kreisscheibe. Es gibt aber auch den linken Rand. Das Ergebnis ist dort 0, aber das muss trotzdem erwähnt werden.

In (b) ist das Ergebnis 0, weil z2 holomorph ist. Das ist ein besonderer Fall von Cauchy-Satz.

(c) ist richtig.
pinkp

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22:47 Uhr, 15.09.2020

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Teil A


x=rcos φ
y=rsin φ

und dz=rdφ

0πr2rdφ=8π

also nicht 4π

Teil B

Gibt es noch Sonderfälle bei typischen Aufgaben?

pinkp

pinkp aktiv_icon

22:49 Uhr, 15.09.2020

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Also bei Teil A

|z|=r2 (wegen Parametriesierung)
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:53 Uhr, 15.09.2020

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Ich würde hier nicht von Sonderfall sprechen.
Dass Integral einer holomorphen Funktion über eine geschlossene Kurve 0 ist, ist einfach eine bekannte Tatsache. Es ist in Wirklichkeit sogar die Originalversion des Satzes von Cauchy.
pinkp

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23:14 Uhr, 15.09.2020

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Alles klar

Ist mein Ansatz bei Teil A richtig?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

23:40 Uhr, 15.09.2020

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Nicht ganz. Wenn x=rcos(φ) und y=rsin(φ), dann z=reiφ.
Auf der Kreisscheibe ist übrigens r=2, so dass man r eigentlich nicht braucht.
Aber die Kurve läuft gegen den Uhrzeigersinn, also von -2i nach 2i, damit muss φ von -π/2 nach π/2 laufen.

Man muss also -π/2π/24d(2eiφ) berechnen und das ist 8[eiφ]-π/2π/2=16i.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:24 Uhr, 16.09.2020

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Dazu kommt noch das Integral über die Strecke von 2i zu -2i, das nicht 0 ist, gegen meine frühere Behauptung. Es ist i2-2t2dt.
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