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Kurvenintegrale
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Bogenlängefunktion, Integration, Parametertransformation, Parametrisierung über die Bogenlänge
 
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Sei die durch parametrisierte Kurve. Die Bogenlängefunktion wird definiert durch wobei die Kurve sei, die durch die Einschränkung von auf gegeben ist. Berechnen Sie und zeigen Sie, dass eine Parametertransformation ist(also eine stetig differenzierbare Bijektion mit positiver Ableitung). Ist s−1 die Umkehrfunktion,so ist dann s−1 ebenfalls eine Parametrisierung von C. Bestimmen Sie diese Parameterdarstellung der Kurve (”Parametrisierung über die Bogenlänge“) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, du kannst sicher die Aufgabe mit nur wenig Hilfe lösen, da das Aussehen der Kurve dir sicher bekannt ist. Infolge dessen brauchst du auch nicht mit jüngeren Formeln für die Bogenlänge zu rechnen, sondern kannst abkürzen. Wenn du berechnet hast, dann wird der Rest ziemlich einfach. Mfg Michael |
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Hallo Michael, Erstmal danke für deine prompte Antwort. Leider ist mir das Aussehen der Kurve nicht bekannt. Also ich habe keine Zeichnung oder so ausser der Aufgabenstellung, die du auch schon gelesen hast. Oder sehe ich irgendwas nicht ? Gruss |
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Hallo, naja, erinnert mich ja wahnsinnig an die Definition von sin und cos am Einheitskreis. Klingelt da jetzt was? Mfg Michael |
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Hallo michael, Sorry ist ja nett von dir aber ich bin wahrscheinlich zu blöd. ist doch nur die parametrisierung von der Kurve C. Das sagt mir nichts darüber wie die Gleichung von aussieht, um dann zu wissen wie meine Kurve aussieht oder ? Gruss |
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Also die Kurve würde dann sowas wie eine Spirale in R². Aber danke für die Idee, das war zumindest ein Anhaltspunkt. Gruss |
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Hallo, nein, es handelt sich um keine Spirale, sondern um einen Dreiviertelkreis. Warum? Tipp: Einheitskreis (etwa: de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Definition_mit_Einheitskreis). Nun gut, da steht nix von , das bedeutet aber nur, dass der Bereich auf gedehnt wird, das aber ja gleichmäßig. Deshalb auch ein Dreiviertelkreis, da einem Winkel von entspricht. Damit lässt sich doch die Bogenlänge einfach berechnen: Der Bogen zwischen und hat dann die Länge eines Teilkreisbogens. Der Anteil beträgt eines Dreiviertelkreises. Der hat eine Länge von . Ergibt also eine Länge von . Von hier ab solltest du selbst nachweisen können, dass eine Parametertransformation ist. Mfg MIchael |
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