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Kurvennormale bestimmen

Schüler Gesamtschule, 12. Klassenstufe

Tags: Kurvennormale

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20:50 Uhr, 10.01.2010

Guten Abend,

hab mir über's Wochenende ein paar Aufgaben aus meinem Lehrbuch gesucht und versuche diese zu lösen.
Allerdings stoße ich bei einer Aufgabe auf Widerstand....:(

Sie lautet:

Gegeben ist die Funktion

f (x) = e^{0,5 x}

.
Gesucht ist die Gleichung derjenigen Kurvennormalen, welche den Graphen von

f

auf der y-Achse trifft. Wo schneidet die Normale die x-Achse?

Bin jetzt soweit, dass ich die erste Ableitung gebildet habe.

f' (x) = 0,5 e^{0,5 x}

Muss ich jetzt erst die Steigung an der Stelle

x = 0

ausrechnen?
Wäre ja dann:

f' (0) = 0,5

Jetzt Punktrichtungsgleichung und damit hätte ich die Tangentengleichung.
Jetzt nurnoch ein anderes Vorzeichnen und das Reziproke von

m

und dann hab ich die Nomrale

(n)

. Nur wenn ich ehrlich bin ist mir das fast schon zu einfach.

Vielleicht kann mir jemand helfen.

Mit freundlichen Grüßen
Patrick

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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21:19 Uhr, 10.01.2010

"den Graphen von f auf der y-Achse trifft"

Du musst erst mal diesen Punkt berechnen! (ist einfach)

und dann die Normalengleichung

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21:44 Uhr, 10.01.2010

Ableitung

f (x) = e^{0,5 x}

f' (x) = 0,5 e^{0,5 x}

Steigung

m t = f' (0) = 0,5

Schnittpunkt mit y-Achse

y = e^{0,5 x}

y = 1

Tangentengleichung

t : y = 0,5 (x - 0) + 1

y = 0,5 x + 1

Normalengleichung

n : y = - 2 x + 1

Hoffe es ist ok so.
Wenn ja danke danke danke. :-)

Mit freundlichen Grüßen
Patrick

pleindespoir aktiv_icon

21:55 Uhr, 10.01.2010

Nicht ganz so fürchte ich ...

Der eine Punkt ist der Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse:

S_{y} (0 ∣ 1)

Der andere Punkt ist noch etwas unbestimmt, nämlich

G (x_{g} ∣ f (x_{g}))

Diese beiden Punkte liegen auf der Normalengerade

N (x) = m x + b .

Diese ist bestimmt durch die Steigung

m = - \frac{1}{f ʹ (x_{g})}

und den y-Achsenabschnitt b.

Ahhh.... y-Achse?!
war da nicht eben was?

(hast du jetzt eine Idee bekommen?)

gfckiller aktiv_icon

22:13 Uhr, 10.01.2010

Ehm... gut möglich.
Ich probier es nocheinmal.

Ableitung

f (x) = e^{0,5 x}

f' (x) = 0,5 e^{0,5 x}

Steigung

m t = f' (0) = 0,5

Schnittpunkt mit y-Achse

y = e^{0,5 \cdot 0}

y = 1

Ich denke, soweit so gut.

Ahh ich muss ja die 0 noch in

f (x)

einsetzen oder?
Also sprich

f (0) = 1

Hm nee.. maanno

: (

Dann bin ich doch wieder bei meiner Augangsgleichung:

t : y = f' (0) (x - 0) + f (0)

t : y = 0,5 x + 1

n : y = - \frac{1}{f' (0)} (x - 0) + f (0)

n : y = - 2 x + 1

hm..nein anscheinend hab ich keine Idee.

: (

Habe auchschon überall in meinem Hefter geguckt. Weiß ja nichmal welche Gleichung ich benutzen soll habe beisielsweise einmal:

t : y = f' (0) (x - 0) + f (0)

und irgentwann später steht diese Punktrichtungsgleichung in meinem Hefter:

y = m (x - x 1) + y 1

Aber das ist nichmal mein Problem im moment. :-)
Ehr diese verflixte Aufgabe. Hm.

Mit freundlichen Grüßen
Patrick

pleindespoir aktiv_icon

22:30 Uhr, 10.01.2010

Die Ableitung für x=0 braucht niemand!

Die Idee mit dem y-Abschnitt war, dass damit ein Parameter der gesuchten Normalengleichung ja schon im Sack wäre!

N (x) = m x + 1

die Steigung haben wir nicht direkt als Zahl, aber doch als Term:

m = - \frac{1}{f ʹ (x_{g})}

daraus können wir folgern:

N (x) = - \frac{1}{f ʹ (x_{g})} x + 1

Der gesuchte Punkt G muss also auf dieser Geraden liegen, also setzen wir doch ein:

G = (x_{g} ∣ f (x_{g}))

f (x_{g}) = - \frac{1}{f ʹ (x_{g})} \cdot x_{g} + 1

und lösen auf ...

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