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Kurvenparametrisierung

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Finanzmathematik

Tags: kurven, parametrisierung

lifescience aktiv_icon

10:05 Uhr, 07.02.2017

Hallo zusammen,
Ich soll folgende Kurven parametrisieren

a) S = [(x, y, z), x + y + z = 1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0]

b) S = [(x, y, z), x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, z \geq 0]

Ich muss folgende Kurven parametrisieren, da ich sie später für den Integralsatz von Stokes benötige.
Leider versteh ich überhaupt nicht wie ich hier auf ein Lösung kommen soll.
Vielleicht kann es mir ja jemand erklären?
Danke :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:55 Uhr, 07.02.2017

Hallo
das sind keine Kurven, das erste ist eine Teilebene, das zweite eine halbe Sphäre.
was willst du also?

Gruß ledum

lifescience aktiv_icon

11:36 Uhr, 08.02.2017

Hallo,
zuerst einmal: woher weißt du, dass es sich beim ersten um eine Teilebene und bei zweiten um eine halbe Sphäre handelt?
Mir fehlts da schon an den Basics.
Danke

mihisu aktiv_icon

12:12 Uhr, 08.02.2017

Die Gleichung

x + y + z = 1

beschreibt eine Ebene.

Sollte einem eigentlich aus der Schule bekannt sein:
de.wikipedia.org/wiki/Ebenengleichung#Koordinatenform

Wegen

x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

hat man dann eben nur einen Teil einer Ebene, also eine Teilebene. (Genauer wird es in diesem Fall zu einer Dreiecksfläche.)

\\\\

Die Gleichung

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

beschreibt eine Sphäre mit Radius 1.
Denn

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

ist der Abstand von einem Punkt

(x, y, z)

zum Ursprung. Und

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

ist gleichbedeutend mit

\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 1

.
Die Gleichung wird also genau von den Punkten erfüllt, welche Abstand 1 zum Ursprung haben, also von den Punkten auf der Sphäre um den Ursprung mit Radius 1.
Die Bedingung

z \geq 0

lässt jedoch nicht alle Punkte auf der Sphäre zu, sondern nur diejenigen mit nicht-negativer z-Komponente, also diejenigen, die "oberhalb" der

x, y

-Ebene liegen. Daher hat man nur eine halbe Sphäre.

\\\\

Ich habe zwei Plots zu den angegebenen Mengen erstellt.
Blau und rot zusammen sind die Ebene (mit Gleichung

x + y + z = 1)

bzw. die Sphäre (mit Gleichung

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1)

.
Rot ist dann die angegebene Menge.

\\\\\\\\

Edit: Wie soll man das nun parametriesiert werden? Man könnte die Flächen natürlich mit zwei Parametern parametrisieren. Wenn du von Stokes redest könnte ich mir eher denken, dass du evtl. den "Rand" parametriesiert haben möchtest.

Hast du eine konkrete Aufgabenstellung, die du uns mitteilen kannst/willst? Oder reicht dir, die Antwort, dass die Mengen

S

jeweils keine Kurven sind?

lifescience aktiv_icon

10:38 Uhr, 09.02.2017

Also ich verstehe es immer noch nicht so richtig.
Wenn folgende Teilebene also gegeben ist

S = [(x, y, z) e R^{3} : x + y + z = 1, x, y, z \geq 0]

und eine Funktion

g S \to R

mit

g (x, y, z) = 2 x + z - y

wie komme ich dann auf die Flächenparametrisierung

F (u, v) = (u, v,1 - u - v)

und

D = [u, v), 0 \leq u \leq 1, 0 \leq v \leq 1 - u]

ledum aktiv_icon

12:11 Uhr, 09.02.2017

Hallo
Was verstehst du denn nicht? wenn du die Menge der Punkte

(x, y, z)

mit

x + y + z = 1

parametrisierst kannst du doch

x = u, y = v, z = 1 - x - y = 1 - u - v

setzen?
und da ja

x, y \geq 0

muss auch

u, v \geq 0,

und da die Summe

= 1

ist darf keines der

u, v > 1

werden. damit hast du dein Definitionsgebiet für

u, v

Was genau ist jetzt unklar?
Gruss ledum

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