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Kurvenparametrisierungen

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Tags: Sonstig

anonymous

19:40 Uhr, 18.07.2019

Folgende Aufgabe:

Beachten Sie die folgenden Kurvenparametrisierungen:

(i)

c (t) = (t, a \cdot t + b), t [. 1, 1], a, b \in ℝ

(ii)

c (t) = (R \cdot cos (t), R \cdot sin (t)), t \in [0, 2 Π), R > 0

(iii)

c (t) = (t, cosh (t)), t \in [- 1, 1]

Aufgaben:

(i)

Berechnen Sie jeweils die Längen der vermittels dieser Parametrisierungen erzeugten Kurven
(ii) Ermitteln Sie jeweils eine Bogenlängenparametrisierung

c (s)

. Welchen Wertebereich besitzt der Bogenlängenparameter s?

Meine Lösungsstrategie:

Die Längen der Kurven erhält man durch folgende Funktion:

L [c] := \int_{a}^{b} | c' (t) | d t

Dafür brauchen wir also die Ableitungen von

c (t)

Für

(i)

wäre das

c' (t) = (1, a)

Im Betrag wäre das also die Länge, also

L [c] := \int_{a}^{b} \sqrt{1 + a^{2}} d t

Jetzt weiß ich aber nicht weiter.. Wie kriege ich hier einen Wert raus? Integrieren? Quadrieren?

Bei (ii) wäre

c' (t) = (- R \cdot sin (t), R \cdot cos (t))

Bei (iii) wäre

c' (t) = (1, sinh (t))

Oder?

Bei Aufgabenteil ii weiß ich gar nicht weiter..

Danke schon mal!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

12:46 Uhr, 19.07.2019

Hallo

i)

dein Integrand ist konstant, dann kennst du doch das Integral und setzt einfach die Grenze ein? (Kontrolle: das ist einfach eine Strecke, deren 2 Endpunkte durch die

2 t

vorgegeben ist.
ii)

{sin}^{2} + {cos}^{2} = 1,

damit wieder ein sehr einfaches Integral, Kontrolle: das ist ein Kreis mit Radius

R

iii) sieh den Zusammenhang zwischen

sinh

und

cosh

nach, dann hast du wieder ein einfaches Integral,
an den Grenzen sollte nicht a und

b

stehen sondern die Werte

t 1

und

t 2,

die ja gegeben sind.
Gruß ledum

anonymous

12:59 Uhr, 19.07.2019

also muss ich an der Stelle, wo das Integral steht, nicht integrieren, sondern lediglich die Grenzen einsetzen und den Wurzelterm berechnen?

Ich verstehe halt nicht, wie ich ab

\int_{a}^{b} \sqrt{1 + a^{2}} d t

Weiterrechnen soll. Was ist hier jetzt gewollt?

Wurzelterm integrieren?
Oder nicht?

Wenn ja, wie?

Roman-22

13:47 Uhr, 19.07.2019

Zum einen ist es ungünstig, dass du bei Aufgabe

i)

die Grenzen allgemein mit

a

und

b

angibst, da

a

hier ja eine andere Bedeutung hat.
Wie ledum schon schrieb, ist dein Integrand

\sqrt{1 + a^{2}}

ja konstant und du solltest wissen, wie man eine Konstante integriert.

Was ist also zB

\int 5 d x =

? oder

\int c d u =

?
Wende das auf

\int (1 + a^{2}) d t

an und werte dann die Grenzen aus (die untere sollte vermutlich

- 1

sein, nicht

. 1)

anonymous

14:19 Uhr, 19.07.2019

Ich habe die Aufgaben vom Blatt abgeschrieben, a und

b

standen dort so.

Also nochmal:

Ich habe NICHT verstanden, wie ich ab dem Integral Weiterrechnen soll

Ich verstehe nicht, was die Stammfunktion des Wurzelterms ist.
Kann ich da mal ein Rechenweg sehen? Vielleicht denke ich zu kompliziert, wenn ihr ja behauptet, dass es super einfach ist

BEISPIEL:
Also ich weiß ja, dass Beispielsweise

\int_{1}^{2} x d x = [\frac{1}{2} x^{2}]

Und hier setze ich ja jetzt einfach 2 und 1 ein

Dann erhalte ich

\Rightarrow (\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Bedeutet also, dass die Länger der Kurve in dem Interval

\frac{3}{2}

beträgt.

Ich verstehe aber nicht, wie das mit der Wurzel funktioniert.

ledum aktiv_icon

17:01 Uhr, 19.07.2019

Hallo
noch mal:

\sqrt{1 + a^{2}}

ist eine Konstante, du integrierst hat nicht nach

a!

integrieren musst du über

t

von

0,1

bis

1,

wenn ich dein

(. 1,1)

als

(0 . 1,1

lese, wenn es ein Tipfehler ist von

- 1

bis 1
also

\sqrt{1 + a^{2}} \cdot t]_{- 1}^{1}

Kontrolle: die Kurve ist eine Strecke mit der Steigung a
bei ii) entsprechend, benutze

{sin}^{2} + {cos}^{2} = 1

wieder eine Konstante integrieren, jetzt von 0 bis

2 π

(Kontrolle, die kurve ist ein Kreis mit Radius

R)

iii) Zusammenhang zwischen

sinh

und

cosh

nachsehen, dann ist es wieder sehr einfach.
Gruß ledum

Roman-22

17:01 Uhr, 19.07.2019

Noch ein weiters Mal: Der Wurzelausdruck enthält nicht die Integrationsvariable

t

und ist somit etwas KONSTANTES!
Wenn du für

f (x) = 5

eine Stammfunktion finden kannst (also

\int 5 d x),

dann auch dafür!

anonymous

17:19 Uhr, 19.07.2019

Oh man :-D)

Sorry, ja, jetzt ist es klar..

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