Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kurvenscharen komplexer Funktionen

Kurvenscharen komplexer Funktionen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Kurvenschar

muri10 aktiv_icon

16:41 Uhr, 12.12.2020

Um sich einfache komplexe Funktionen bildhaft vorzustellen, kann man die Kurven Re $f (z)$ =const und Im $f (z) =$ const in die Ebene zeichnen. Beschriftet man die Kurven entsprechend, so lassen sichdamit komplexe Funktionswerte direkt ablesen. In dieser Aufgabe sollen Sie das an zwei Beispielenselbst versuchen. Bestimmen Sie dazu für

(a) $f : ℂ \to ℂ$ mit $f (z) = z^{2}$
(b) $f : ℂ {0} \to ℂ$ mit $f (z) = \frac{1}{z}$

Die Kurvenscharen $A = {z \in ℂ :$ Re $f (z) = α}$ und $B = (z \in ℂ :$ Im $f (z) = β}$ für $α, β \in ℝ$ und skizzieren Sie diese.

$(c)$ Warum schneiden sich die Kurven A und $B$ für komplex differenzierbare $f$ immer im rechten Winkel?

zu (a) $f (z) = z^{2} = {(a + b \cdot i)}^{2} = (a^{2} - b^{2}) + (2 \cdot a \cdot b) i$

Somit Re(f(z))= $α = a^{2} - b^{2}$ und Im $f (z) = β = 2 \cdot a \cdot b$

Ab hier weiß ich nicht weiter.

zu (b) $f (z) = \frac{1}{z} = \frac{1}{a + b \cdot i} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - (\frac{b}{a^{2} + b^{2}}) i$

Somit Re(f(z))= $α = \frac{a}{a^{2} + b^{2}}$ und Im $f (z) = β = - \frac{b}{a^{2} + b^{2}}$

Hier weiß ich auch nicht weiter.

Zur $(c)$ Das Skalarprodukt der Kurven berechnen und dieses ergibt 0?

Vielen Dank.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

16:57 Uhr, 12.12.2020

Ich würde jetzt nicht $a, b$ schreiben, sondern klassischerweise $x, y$ .

a)
Du hast also Kurven $x^{2} - y^{2} = α$ und $2 x y = β$ und musst nur sie zeichnen.
Das sind in beiden Fällen Hyperbeln (solange $α, β \neq 0$ - wenn eins davon Null wird, entarten sich Hyperbeln zu zwei senkrechten Geraden).
$2 x y = β$ ist bei $β \neq 0$ dasselbe wie $y = \frac{2 β}{x}$ , also "klassische" Hyperbel.
$x^{2} - y^{2} = α$ sind fast dieselben Hypebeln, nur sind sie jetzt um $45$ Grad gedreht, denn die Gleichung kann auch $(x - y) (x + y) = α$ geschrieben werden.

b) $\frac{x}{x^{2} + y^{2}} = α$ ist (solange $α \neq 0$ ) dasselbe wie $α x = x^{2} + y^{2}$ bzw. $(x - α / 2)^{2} + y^{2} = α^{2} / 4$ , was ein Kreis ist.
Ähnlich für $\frac{y}{x^{2} + y^{2}} = β$

"Zur (c) Das Skalarprodukt der Kurven berechnen und dieses ergibt 0?"

Skalarprodukt der Tangenten. Ja, ergibt 0. Das folgt aus den Cauchy-Riemann-Gleichungen.

muri10 aktiv_icon

17:58 Uhr, 12.12.2020

Sollte es bei der $(a)$ nicht sein $b = \frac{β}{2 \cdot x}$

Und bei der (b) $\frac{x}{α} = x^{2} + y^{2}$ und $- \frac{y}{β} = x^{2} + y^{2}$

DrBoogie aktiv_icon

18:00 Uhr, 12.12.2020

"Sollte es bei der (a) nicht sein b=β2⋅x"

Ja, aber es kein wesentlicher Unterschied

"Und bei der (b) αx=x2+y2 und −βy=x2+y2

Ja, aber es ist wiederum kein wesentlicher Unterschied

DrBoogie aktiv_icon

18:01 Uhr, 12.12.2020

Du kannst ja selbst meine Berechnung entsprechend korrigieren

muri10 aktiv_icon

18:16 Uhr, 12.12.2020

Wolframalpha plottet mir die Funktionen von $(b)$ als Kreisschar mit Berührpunkt im Ursprung und sich verschiebendem Mittelpunkt auf der $x$ bzw. $y$ Achse und variierendem Radius. Ist das korrekt? Für mich ist nicht ersichtlich, wieso sich der Mittelpunkt verschiebt.

DrBoogie aktiv_icon

18:21 Uhr, 12.12.2020

Aus $α = \frac{x}{x^{2} + y^{2}}$ wird $x^{2} + y^{2} = \frac{x}{α}$ und dann $(x - \frac{1}{2 α})^{2} + y^{2} = \frac{1}{4 α^{2}}$ . Das ist der Kreis mit dem Zentrum $(\frac{1}{2 α}, 0)$ .

muri10 aktiv_icon

18:37 Uhr, 12.12.2020

Ist nun klar. Besten Dank.

1522940

1522917

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?