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Kurvensynthese

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Ganzrationale Funktion 3. Grades, Kurvensynthese

Gorden aktiv_icon

13:31 Uhr, 20.05.2009

Ich schreibe nächsten Montag meine Mathe Abschlussprüfung (Fachabi).
Dabei kommt auch die Kurvensynthese drin vor.
Leider war dieses Thema noch nicht in der Kartei vorhanden.

Ich habe eine Übungsaufgabe von meinen Mathelehrer bekommen, die lautet:

Im Rahmen einer Untersuchung der Straßenbahnauslastung der Essener Verkehrsgesellschaft wurde eine Bahn der Linie

106

während einer Schicht beobachtet:
Die Schicht beginnt um 6 Uhr. Nach einer halben Stunde befinden sich

27

Fahrgäste in der Bahn. Um

13

Uhr wurden die meisten Fahrgäste

(268)

gezählt.
Für die Erfassung der ganzen Schicht der Bahn sollen die Zusammenhänge mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden.

Weisen Sie nach, dass die Funktion

f (x) =

-0,47x³+1,1x²+53,5x die oben genannten Eigenschaften beschreibt.

Wenn es bereits, welche Kurvensynthese Aufgaben/Lösungen vorhanden sind, wäre ich um eine Nachricht sehr dankbar.

Vielen Dank im vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

BjBot aktiv_icon

13:37 Uhr, 20.05.2009

Es gibt hier etliche Beiträge und Videos zu dem Thema und da du keine konkreten Fragen stellst würde ich vorschlagen du schaust dir das erstmal da in Ruhe an:

http//www.onlinemathe.de/mathe/video/steckbriefaufgabe

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13:46 Uhr, 20.05.2009

sorry, ich finde keine Kurvensynthese in der Rubriken

: (

BjBot aktiv_icon

13:50 Uhr, 20.05.2009

Ich hab dir doch extra nen Link geschickt.
Statt Kurvensynthese kann man auch Rekonstruktion oder Steckbriefaufgabe sagen, das ist alles dasselbe.

Gorden aktiv_icon

04:19 Uhr, 21.05.2009

achso sorry,

\land

vielen dank.

Koennt ihr mir sagen, welches schneller und einfacher ist.
Einsetzungsverfahren oder Gaus Algoritmus?

und zu den Sachbezug, da steht nach einer Halbenstunde (ab

6.00

Uhr).
Ist dann der

x = 6.5

oder

x = 6 \frac{1}{2}

? Oder doch was anderes?

Magda aktiv_icon

05:29 Uhr, 21.05.2009

Bei Funktionen werden eigentlich nie Uhrzeiten eingesetzt, sondern die verstrichene Zeit ab einem bestimmten Zeitpunkt. Hier ist es die verstrichene Zeit ab

6 : 00

Uhr, denn da gehts ja mit der Schicht los.

6 : 30

Uhr entspricht

x = \frac{1}{2} = 0,5

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08:58 Uhr, 21.05.2009

dann ist der Punkt2

(6,5 | 27)

oder(

6 \frac{1}{2} | 27)

anonymous

09:44 Uhr, 21.05.2009

Hallo,

ja, so ist es. Und Brüche sind immer löblich :-)
Aber wenn, dann verwende keine unechten Brüche sondern schreibe:

P (\frac{13}{2} | 27)

Gruß, Diophant

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17:33 Uhr, 21.05.2009

Vielen Dank.

Ich habe jetzt den ganzen morgen Versuch auf die Funktion zu kommen, leider ohne Erfolgt.

Ich habe diesen Einsetzverfahren und mit Gaus probiert

: (

bzw. ich finde mein Fehler nicht.

magix aktiv_icon

20:15 Uhr, 21.05.2009

Also ich würde wieder mal sagen: Keep it simple and stupid. Die Aufgabe heißt ja nicht, dass du die Funktion erst finden sollst. Das würde mit nur zwei Informationen auch nicht gehen. Denn du hast bei einer ganzrationalen Funktion 3. Grades vier Unbekannte und bräuchtest daher vier Informationen oder Punkte, um vier Gleichungen zu bekommen.

Aber hier ist ja nur gefordert, dass du zeigst, dass die beiden Informationen die Gleichung erfüllen. Der erste Punkt heißt

(0,5; 27),

der zweite

(7; 268)

. Du setzt die x-Werte in die Gleichung ein und schaust, ob die zugehörigen y-Werte herauskommen. Ich hab es ausprobiert, es klappt, wenn auch beim 2. Punkt

267,2

rauskommt. Aber das ist vermutlich akzeptabel.

Gruß Magix

Gorden aktiv_icon

21:12 Uhr, 21.05.2009

laut Lehrer, soll ich es beweisen, das die Gleichung 3. Grades stimmt. Das soll auch eine Überprüfung sein ob man richtig runtergerechnet.
Laut Text bezog, habe ich 4 Gleichung aufgestellt.
Aber ich komme nicht auf diesen vorgebener Ergebnis

: (

magix aktiv_icon

21:17 Uhr, 21.05.2009

Dann lass mich doch bitte deine Gleichungen sehen und sag mir, mit welchen Informationen, die ich hier nicht sehe, du die aufgestellt hast.

magix aktiv_icon

21:19 Uhr, 21.05.2009

Ok, ich hab zwei Informationen übersehen. Bei Schichtbeginn ist natürlich die Fahrgastzahl auch Null. und bei

7; 268

ist ein Maximum.

Gorden aktiv_icon

21:33 Uhr, 21.05.2009

Ich benutze anstatt abcd eigentlich

a 3 - a 2 - a 1 - a 0

(Zahlen stehen sonst unten),
aber für hier habe jetzt die Buchstaben abcd genommen.

(ganzrationale Funktion)
Die Funktionsgleichung hat die Form von

f (x) =

ax³

+

bx²

+

+ d

f' (x) =

3ax²

+

2bx

+ c

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Punkt "1"

(6 | 0)

f (6) = 0

Punkt "2"

(\frac{13}{2} | 27)

f (\frac{13}{2}) = 27

(13 | 268)

HP "3"

f (13) = 268

HP "4"

f' (13) = 0

1) 216 a + 36 b + 6 c + d = 0

2) 274 \frac{5}{8} a + 42 \frac{13}{2} b + \frac{13}{2} c + d = 27

3) 2197 a + 169 b + 13 c + d = 268

4) 507 a + 26 b + c = 0

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Vielleicht habe ich es auch falsch eingesetzt... (aber nach mehrmaligen Versuche, kam ich immer auf die selben 4 Gleichungen.
Ich sitze bereits seid gestern Mittags da dran.

Ich hoffe, ihr findet was, was ich übersehe oder falsch gemacht habe.

magix aktiv_icon

21:39 Uhr, 21.05.2009

Magda hat dir als einzige den richtigen Tipp gegeben. Du musst nicht

x = 6

einsetzen für den Start, sondern

x = 0

. Als heißt der erste Punkt

(0; 0)

. Die Gleichungen werde trotzdem greißlig. Aber ich bin gerade dran sie zu lösen. Schaun wir mal, was geht.

magix aktiv_icon

21:52 Uhr, 21.05.2009

So, ich hab den Gauß durch. Es war bei den Zahlen und den dann auftretenden Rundungsfehlern nicht zu erwarten, dass exakt die Werte rauskommen, die vorgegeben sind. Aber sie liegen im einem akzeptablen Bereich:

a = - 0,46

b = 0,97

c = 53,63

Und wenn man zusätzlich die beiden gegebenen Punkte in die gegebene Funktion einsetzt und zeigt, dass die die Gleichung erfüllen, dürfte dem Nachweis aber mehr als Genüge getan sein. Im Übrigen gehören Lehrer, die solche Aufgaben stellen, mal gründlich verhauen. Und das sage ich, obwohl ich auch in der Schule arbeite.

magix aktiv_icon

21:54 Uhr, 21.05.2009

Ich kann dir gerne auch den Algorithmus posten, wenn du keinen Nerv mehr hast, um das selber auszurechnen.

Zeus11 aktiv_icon

21:56 Uhr, 21.05.2009

Ich habe andere werte raus die besser passen also gerundet fast exakt das sind was oben steht.
Allerdings nicht per hand ausgerechnet, aber den lösungs weg hab ich trotzdem.

a = - 0,4695085135

b = 1,1037314334

c = 53,5655114117

das wären die genauen ergebnisse.

hast du zwischen durch gerundet?

Zitat:
"Im Übrigen gehören Lehrer, die solche Aufgaben stellen, mal gründlich verhauen"
Wenn du das auf diese sinnlose rechnerei mit den riesen zahlen beziehst, dann sind wir voll und ganz einer meinung

Gorden aktiv_icon

21:58 Uhr, 21.05.2009

super, vielen vielen Dank.
Sind sie Lehrerin an einer Schule?
Solche Aufgaben kommen jetzt am kommenden Montag in der Abschlussprüfung vor.

Gerne, koennten Sie das bitte posten. ( wie ihr das alles gelöst hab )

Was habe ich denn falsch gemacht?
Anstatt

(6 | 0)

muss ich einfach

(0 | 0)

machen? oder doch nicht!?

Noch eine Frage, beim Gaus, kann man beim langen Dezimalzahlen runder 2 Stellen nach dem Komma? Weil ich sonst nur auf Bruch umgewandelt habe.
Oder beim Einsetzungverfahren, gilt das auch?

Wir haben nie Gaus gelernt in der Schule..., das habe ich von einen Kumpel gelernt.

magix aktiv_icon

22:35 Uhr, 21.05.2009

Sagen wir mal, ich unterrichte auch Schüler, ohne dass ich direkt Lehrerin bin.

Ja, ich versuch mal es hier aufzuschreiben. Ich hab die Zahlen aber gnadenlos gerundet, weil die eh schon so unhandlich waren. Vermutlich wäre das Ergebnis genauer ausgefallen, wenn ich das nicht getan hätte. Insofern ist es sicher besser, die Brüche stehen zu lassen. Natürlich geht das mit dem Additions- und Einsetzverfahren auch. Aber der Gauß-Algorithmus ist systematischer und führt damit schneller bzw. sicherer zum Ziel.

Du hast eigentlich nichts falsch gemacht, nur den Hinweis von Magda übersehen, dass man Funktionen eigentlich nicht mit Uhrzeiten machen kann, sondern eben von einem Nullpunkt, nämlich hier dem Beginn der Schichtzeit, startet.

So, dann mal zu den Matrizen. Ich schreibe immer hinter der Zeile hinter einem Vertikalstrich, was ich dort gemacht habe. Ich habe übrigens nur noch 3 Gleichungen, weil man aus

(0; 0)

schließen kann, dass

d = 0

ist.

(I) : 0,125; 0,25; 0,5; 27

(II):

343; 49; 7; 268

(III):

147; 14; 1; 0

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}_

(I') : 1; 2; 4; 216 | (I) \cdot 8

(II'):

0; - 637; - 1365; - 73820

|(II)-343*(I')
(III'):

0; - 280; - 587; - 31752 |

(III)-147*(I')

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

nun bearbeite ich erst die Gleichung (II):
(II"):

0; 1; \frac{15}{7}; 115,89 |

(II'):(-637)
(I"):

1; 0; - \frac{2}{7}; - 15,78 |

(I')-2*(II")
(III"):

0; 0; 13; 697,2 |

(III')+280*(II")

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

nun bearbeite ich zuerst Gleichung (III"):
(III"'):

0; 0; 1; 53,63 |

(III"):13
(I"'):

1; 0; 0; - 0,457 |

(I")+

\frac{2}{7}

*(III"')
(II"'):

0; 1; 0; 0,968 |

(II")-

\frac{15}{7}

*(III"')

So, das war's. Wie gesagt, mit Brüchen müsste es genauer gehen.
Viel Erfolg dann bei der Prüfung.

Gruß Magix

Gorden aktiv_icon

22:49 Uhr, 21.05.2009

vielen Dank an Alle!
Besonders an Magix!!

pleindespoir aktiv_icon

22:57 Uhr, 21.05.2009

Die Schicht beginnt um 6 Uhr. Nach einer halben Stunde befinden sich 27 Fahrgäste in der Bahn. Um 13 Uhr wurden die meisten Fahrgäste (268) gezählt.
Für die Erfassung der ganzen Schicht der Bahn sollen die Zusammenhänge mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades beschrieben werden.

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

y ʹ = 3 a x^{2} + 2 b x + c

y ʺ = 6 a x + 2 b

I:
Schicht beginnt um 6 Uhr (null Fahrgäste)

0 = a 0^{3} + b 0^{2} + c 0 + d

0 = d

II:
Nach einer halben Stunde befinden sich 27 Fahrgäste in der Bahn

27 = a {\frac{1}{2}}^{3} + b {\frac{1}{2}}^{2} + c \frac{1}{2} + 0

III:
Um 13 Uhr wurden (...) (268) Fahrgäste gezählt (13h-6h=7)

268 = a 7^{3} + b 7^{2} + c 7 + 0

IV:
Um 13 Uhr wurden die meisten Fahrgäste (268) gezählt.

0 = 3 a 7^{2} + 2 b 7 + c

und

0 > 6 a 7 + 2 b

soooo furchtbar sind die Zahlen nun nicht finde ich.

Sind ja nur noch drei Gleichungen wirklich übrig:

II:

27 = \frac{1}{8} a + \frac{1}{4} b + \frac{1}{2} c

216 = a + 2 b + 4 c

III:

268 = 343 a + 49 b + 7 c

IV:

0 = 147 a + 98 b + c

DAZU kann man ja dann mal einen TR verwenden....

im übrigen dürfte Gauss hier die Technik der Wahl sein.

Aber fertig rechnen muss ich jetzt nicht noch, oder?

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