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Kurvenuntersuchung Kurvenschar

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Kurvenuntersuchung Kurvenschar

Math34

20:15 Uhr, 25.05.2010

Hallo, ich hoffe ihr könnt mir helfen bei folgender Aufgabe:
Gegeben sei die Kurvenschar fa(x)=x^4-ax^2

a)

Führen Sie eine Kurvendiskussion von fa durch.
Also die normale Kurvendiskussion kann ich ja aber, bei der weiß ich aber nicht wie ich den Anfang machen soll.

0=x^4-ax^2 und dann ??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

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20:16 Uhr, 25.05.2010

Hi,

du könntest jetzt

x^{2}

ausklammern.

Math34

20:19 Uhr, 25.05.2010

Ist mir auch gerade eingefallen :-)

0=x^4-ax^2

0 = x^{2} (x^{2} - a)

x 1,2 = 0

0 = x^{2} - a

a = x^{2}

x = \frac{+}{-}

Wurzel aus a

Ist das so weit richtig ?

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20:22 Uhr, 25.05.2010

Ja stimmt. Nur könntest du noch an deinem Umgang mit dem Text-Editor pfeilen.
"0=x^4-a x^2" wird zu

0 = x^{4} - a x^{2}

also das a und

x^{2}

dürfen nicht aneinander kleben.
"x_(1,2)" wird zu

x_{1,2}

"+-sqrt(a)" wird zu

\pm \sqrt{a}

\Rightarrow

www.onlinemathe.de/download/onlinemathe_mathematische_zeichen.pdf

Gruß Shipwater

Math34

20:24 Uhr, 25.05.2010

Bei Extrempunkten

fa'(x)=4x^3-2ax
0=4x^3-2ax

0 = x (4 x^{2} - 2 a)

x 1 = 0

0 = 4 x^{2} - 2 \frac{a}{:} 4

0 = x^{2} - 0,5 \frac{a}{+} 0,5 a

x^{2} = 0,5 a

x =

Wurzel

\frac{+}{- 0,5} a

Math34

20:25 Uhr, 25.05.2010

Danke, nächstes mal schreib ich dann richtig :-)

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20:25 Uhr, 25.05.2010

Jetzt beachte aber bitte die Sache mit dem Text-Modus! Man kann nix lesen...

Math34

20:31 Uhr, 25.05.2010

fa'(x)=

4 x^{3} - 2 a x

0 = 4 x^{3} - 2 a x

0 = x (4 x^{2} - 2 a)

x_{1} = 0

0 = 4 x^{2} - 2 a

0 = x^{2} - 0,5 a

0,5 a = x^{2}

x = \pm \sqrt{0,5 a}

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20:32 Uhr, 25.05.2010

Schon viel besser und auch alles richtig!
"f_a(x)" wird zu

f_{a} (x)

"f_a'(x)" wird zu

f_{a}' (x)

Gruß Shipwater

Math34

20:37 Uhr, 25.05.2010

War aber auch echt unleserlich.
Jetzt hab ich ja den

x

Wert und wie überprüf ich dann, dass es ein Hoch oder Tiefpunkt ist. Also wie setz ich das genau ein?

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20:44 Uhr, 25.05.2010

Ist irgendeine Angabe zu a gemacht? Also zum Beispiel

a \in ℝ^{+}

oder ähnliches?
Ansonsten musst du einfach die zweite Ableitung bilden und dann die möglichen Extremstellen einsetzen.

Math34

20:54 Uhr, 25.05.2010

Ja das was du geschrieben hast steht da auch also mit dem

a \in ℝ

.
Was macht man dann da ?

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20:55 Uhr, 25.05.2010

Steht da wirklich nur

a \in ℝ

und nicht vielleicht eher

a \in ℝ^{+}

oder

a \in ℝ

und

a > 0

Aber unabhängig davon musst du auf jeden Fall die zweite Ableitung bilden und dort deine möglichen Extremstellen einsetzen.

Gruß Shipwater

Math34

20:56 Uhr, 25.05.2010

nur das ohne irgendwas dazu !

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20:57 Uhr, 25.05.2010

Dann bilde erstmal die zweite Ableitung.

Math34

20:58 Uhr, 25.05.2010

f_{a}'' (x) = 12 x^{2} - 2 a

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21:00 Uhr, 25.05.2010

Deine möglichen Extremstellen sind

x_{1} = 0; x_{2} = \sqrt{0,5 a}

und

x_{3} = - \sqrt{0,5 a}

Setze diese in die zweite Ableitung ein.

Math34

21:05 Uhr, 25.05.2010

f_{a}'' (x) = 12 x^{2} - 2 a

f_{a}'' (0) = 12 \cdot 0^{2} - 2 a

f_{a}'' (0) = - 2 a

Also Hochpunkt an der Stelle

(0 | 0)

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21:10 Uhr, 25.05.2010

Weil

a \in ℝ

gegeben ist wird das nun nicht so einfach wie du dachtest. Betrachte

f_{a}'' (0)

doch mal für ein negatives a wie zum Beispiel

a = - 1

f_{a}'' (0) = - 2 a

wird für

a = - 1

f_{- 1}'' (0) = - 2 \cdot - 1 = 2

Für

a = - 1

hätten wir also einen Tiefpunkt.
Für aber zum Beispiel

a = 1

entsteht:

f_{1}'' (0) = - 2 \cdot 1 = - 2

Für

a = 2

hätten wir also einen Hochpunkt.

Allgemein ist

- 2 a > 0

für

a < 0

also haben wir für alle

a < 0

einen Tiefpunkt
Allgemein ist

- 2 a < 0

für

a > 0

also haben wir für alle

a > 0

einen Hochpunkt
Für

a = 0

ist

- 2 a = 0

aber weitere Untersuchungen zeigen, dass wir auch für

a = 0

einen Tiefpunkt haben.

Math34

21:10 Uhr, 25.05.2010

Oh hab was falsches eingesetzt.

f_{a}'' (x) = 12 x^{2} - 2 a

f_{a}'' (- \sqrt{0,5 a}) = 12 \cdot {(- \sqrt{0,5 a})}^{2} - 2 a

Wie mach ich dann da weiter ??

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21:15 Uhr, 25.05.2010

f_{a}'' (x) = 12 x^{2} - 2 a

f_{a}'' (\sqrt{0,5 a}) = f_{a}'' (- \sqrt{0,5 a}) = 12 \cdot {\sqrt{0,5 a}}^{2} - 2 a = 12 \cdot 0,5 a - 2 a = 6 a - 2 a = 4 a

Und jetzt kommt wieder besagte Fallunterscheidung...

Math34

21:18 Uhr, 25.05.2010

Okay das hab ich denk ich mal verstanden mit dem

a,

aber wie schreib ich das dann hin, das alle Eventualitäten abgeklärt sind....

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21:21 Uhr, 25.05.2010

Ich hab das doch schon in meinem Beitrag von

21 : 10

erklärt? Oder was meinst du jetzt?

Math34

21:23 Uhr, 25.05.2010

Ja das hab ich ja auch so verstanden. Also muss ich dann keinen Punkt machen, ob das Hoch- oder Tiepunkt ist machen, weil sich das erst ergibt, wenn ich ein a habe ?? Weißte was ich mein?

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21:25 Uhr, 25.05.2010

Du kannst eine Fallunterscheidung machen. Also sagen für welche a es ein Hochpunkt und für welche a es ein Tiefpunkt sein wird.