Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kurvenvektor gegeben -> Geschwindigkeit, Länge bes

Kurvenvektor gegeben -> Geschwindigkeit, Länge bes

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

enshow aktiv_icon

20:37 Uhr, 08.09.2012

Folgende Kurve ist gegeben (eigentlich in Vektorschreibweise):

c (t) = (sin (t); cos (t); z \cdot t)

1. Berechne Länge, Geschwindigkeitsvektor, Krümmung in jedem Punkt
2. Bestimme Funktion, dass die Kurve parametrisiert ist

Mir fehlt komplett der Ansatz.

Krümmung = 1.Ableitung?, also

(cos (t); - sin (x); z)

DerDepp aktiv_icon

10:38 Uhr, 10.09.2012

Hossa ;-)

Du hast die Kurve:

\vec{r} (t) = (\begin{array}{c} \sin (t) \\ \cos (t) \\ z t \end{array}); t \in [0; \infty [

Die Aufgabenstellung geht hier kreuz und quer. Ich habe zunächst mal einen sinnvollen Definitionsbereich

t \geq 0

ergänzt, um uns das Leben einfacher zu machen (ist vermutlich in der originalen Aufgabe auch so).

Zuerst ermittelst du den Geschwindigkeitsvektor

\vec{v} (t)

. Dieser ist einfach die Ableitung aller Komponenten nach der Zeit t:

\vec{v} (t) = \frac{d}{d t} \vec{r} (t) = (\begin{array}{c} \cos (t) \\ - \sin (t) \\ z \end{array})

Als nächstes bestimmst du die Länge

s (T)

, die du zurücklegen würdest, wenn du vom Zeitpunkt

t = 0

bis zum Zeitpunkt

t = T

auf der Kurve

\vec{r} (t)

entlang gehen würdest. Dazu integrierst du die Länge, also den Betrag(!), der infinitesimal kleinen Wegstücke

d \vec{r}

entlang der Kurve. Du startest beim Punkt

\vec{r} (0)

und endest beim Punkt

\vec{r} (T)

s (T) = \int_{\vec{r} (0)}^{\vec{r} (T)} ∣ d \vec{r} ∣ = \int_{0}^{T} ∣ \frac{d \vec{r}}{d t} ∣ d t = \int_{0}^{T} ∣ \vec{v} ∣ d t

Jatzt siehst du, warum es sinnvoll war, zuerst die Geschwindigkeit

\vec{v} (t)

zu ermitteln. Ihr Betrag geht nun in die Berechnung der Länge

s (T)

ein:

s (T) = \int_{0}^{T} ∣ (\begin{array}{c} \cos (t) \\ - \sin (t) \\ z \end{array}) ∣ d t = \int_{0}^{T} \sqrt{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) + z^{2}} d t = \int_{0}^{T} \sqrt{1 + z^{2}} d t = \sqrt{1 + z^{2}} \cdot T

Damit ist die Bogenlänge gefunden:

s (t) = \sqrt{1 + z^{2}} \cdot t

.

Jetzt kommt der eigentliche Trick. Man drückt die Kurve

\vec{r} (t)

nicht mehr in Abhängigkeit von der Variablen

t

aus, sondern in Abhängigkeit von der Weglänge

s

. Der entsprechende Vektor

\vec{r} (s)

ist hier leicht zu bilden, da wir ja gerade berechnet haben, dass

t = s / \sqrt{1 + z^{2}}

gilt:

\vec{r} (s) = (\begin{array}{c} \sin (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ \cos (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ \frac{z s}{\sqrt{1 + z^{2}}} \end{array})

Warum diese Ersetzung? Betrachten wir die Differenz zweier benachbarter Kurvenpunkte speziell mit der Länge

s

als Parameter,

Δ \vec{r} = \vec{r} (s + Δ s) - \vec{r} (s)

, so nähert sich der Betrag dieser Abweichung (=die Länge des Differenzvektors) für hinreichend dicht benachbarte Punkte der Bogenlänge

Δ s

an. Das heißt:

∣ \frac{d \vec{r}}{d s} ∣ = ∣ lim_{Δ s \to 0} \frac{\vec{r} (s + Δ s) - \vec{r} (s)}{Δ s} ∣ = 1

Mit anderen Worten, wenn ich eine Raumkurve

\vec{r}

nach ihrer Länge

s

parametrisiert habe, also

\vec{r} = \vec{r} (s)

, so ergibt die Ableitung den Tangenten-Einheitsvektor:

\vec{t} (s) = \frac{d \vec{r} (s)}{d s} =

Tangenten-Einheitsvektor

Genau diesen müssen wir als nächstes berechnen:

\vec{t} (s) = \frac{d \vec{r} (s)}{d s} = \frac{d}{d s} (\begin{array}{c} \sin (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ \cos (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ \frac{z s}{\sqrt{1 + z^{2}}} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{1 + z^{2}}} \cos (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ - \frac{1}{\sqrt{1 + z^{2}}} \sin (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ \frac{z}{\sqrt{1 + z^{2}}} \end{array}) = \frac{1}{\sqrt{1 + z^{2}}} (\begin{array}{c} \cos (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ - \sin (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ z \end{array})

Wegen dem trigonometrischen Phythagoras,

\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1

, sieht man sofort, dass die Länge dieses Vektors tatsächlich gleich 1 ist.

Wenn man nun auf der Kurve

\vec{r} (s)

entlang schreitet, wird die Tangente

\vec{t} (s)

im Allgemeinen ihre Richtung ändern. Die Änderung kann nach links oder rechts (in Richtung der Tangente gesehen) erfolgen. Also muss diese Änderung entlang eines Vektors passieren, der auf dem Tangenten-Einheitsvektor

\vec{t} (s)

senkrecht steht. Dieser Vektor heißt Normalenvektor. Er ergibt sich aus der Ableitung des Tangenten-Einheitsvetkors

\vec{t} (s)

. Der Betrag dieses Normalenvetkors ist gleich der Krümmung

κ

κ = ∣ \frac{d \vec{t} (s)}{d s} ∣ = \frac{1}{\sqrt{1 + z^{2}}} \cdot ∣ (\begin{array}{c} - \frac{1}{\sqrt{1 + z^{2}}} \sin (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ - \frac{1}{\sqrt{1 + z^{2}}} \cos (\frac{s}{\sqrt{1 + z^{2}}}) \\ 0 \end{array}) ∣ = \frac{1}{1 + z^{2}}

Bei der Aufgabe fehlt eigentlich noch der Krümmungsradius

ρ

. Er ist gleich dem Kehrwert der Krümmung, also

ρ = 1 / κ

.

Ich hoffe, das war halbwegs verständlich. Falls nicht, frag einfach nochmal nach...

Ok?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1026453

1026131

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?