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Lösung von Wurzelgleichung ohne Taschenrechner

Schüler Berufskolleg, 13. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Wurzel

mine86 aktiv_icon

18:20 Uhr, 12.10.2009

Hallo,
wie löst man folgende Aufgabe?

Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden Gleichung:

WURZEL"7x-6"

+

WURZEL"11x-2"

= 4

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

DK2ZA aktiv_icon

18:25 Uhr, 12.10.2009

Nach dem Quadrieren hast du nur noch eine Wurzel. Diese bringst du alleine auf eine Seite und quadrierst noch einmal.

GRUSS, DK2ZA

bruchspezialistin aktiv_icon

18:34 Uhr, 12.10.2009

\sqrt{7 x - 6} + \sqrt{11 x - 2} = 4 | {()}^{2}

{(\sqrt{7 x - 6} + \sqrt{11 x - 2})}^{2} = 4^{2} |

bin. Formel auflösen

7 x - 6 + 2 \cdot \sqrt{7 x - 6} \cdot \sqrt{11 x - 2} + 11 x - 2 = 16 |

Umformen und zusammenfassen

18 x - 8 + 2 \cdot \sqrt{(7 x - 6) \cdot (11 x - 2)} = 16

2 \cdot \sqrt{(7 x - 6) \cdot (11 x - 2)} = 24 - 18 x

\sqrt{(7 x - 6) \cdot (11 x - 2)} = 12 - 9 x {()}^{2}

(7 x - 6) \cdot (11 x - 2) = {(12 - 9 x)}^{2}

77 x^{2} - 14 x - 66 x + 12 = 144 - 216 x + 81 x^{2}

- 4 x^{2} + 136 x - 132 = 0

x^{2} - 34 x + 33 = 0

Anwenden der pq-Formel ergibt:

x_{1} = 33

und

x_{2} = 1

Überprüfen durch Einsetzen ergibt:

x_{1} = 33

erfüllt die Ausgangsgleichung nicht. Diese ist durch Quadrieren hinzugekommen.

L = {1}

Astor aktiv_icon

19:02 Uhr, 12.10.2009

@bruchspezialistin,
wird die Lösung nicht einfacher, wenn man die Rechnung damit startet, dass auf jeder Seite der Gleichung ein Wurzelterm steht?
Gruß Astor

mine86 aktiv_icon

19:03 Uhr, 12.10.2009

Super, dankeschön

bruchspezialistin aktiv_icon

19:09 Uhr, 12.10.2009

@Astor? Wird sie? Man müsste vielleicht ein bißchen weniger ausmultiplizieren, oder? Ansonsten hat man so oder so eine binomische Formel zum Auflösen und bekommt einen zweiten Wurzelterm. Die rechte Seite ist ja nicht gleich Null.

Astor aktiv_icon

19:20 Uhr, 12.10.2009

@bruchspezialistin,
das wär ja schon was. Und die Strategie, dass nur ein Wurzelterm auf einer Seite des Gleichheitszeichens steht muss so und so angewendet werden.
Gruß Astor

bruchspezialistin aktiv_icon

19:33 Uhr, 12.10.2009

@Astor: Ja, so geht es auch und es ist etwas kürzer

. .

. :-)

\sqrt{7 x - 6} + \sqrt{11 x - 2} = 4

\sqrt{7 x - 6} = 4 - \sqrt{11 x - 2} | {()}^{2}

7 x - 6 = 16 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{11 x - 2} + 11 x - 2

- 4 x - 20 = - 8 \cdot \sqrt{11 x - 2}

x + 5 = 2 \cdot \sqrt{11 x - 2} | {()}^{2}

x^{2} + 10 x + 25 = 4 \cdot (11 x - 2)

x^{2} + 10 x + 25 = 44 x - 8

x^{2} - 34 x + 33 = 0

Anwenden der pq-Formel ergibt:

x_{1} = 33

und

x_{2} = 1

Überprüfen durch Einsetzen ergibt:

x_{1} = 33

erfüllt die Ausgangsgleichung nicht. Diese ist durch Quadrieren hinzugekommen.

L = {1}

Astor aktiv_icon

19:37 Uhr, 12.10.2009

@bruchspezialistin,
super. Danke.
Gruß Astor

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