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L. u. von Menge von paarweise orthogonalen
Universität / Fachhochschule
Lineare Unabhängigkeit
Tags: Lineare Unabhängigkeit
 
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Hallo zusammen, Ich habe eine Problem bei meinen Mathe-Übungen. Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter bzw. habe keinen Rechnerischen Ansatz. Logisch ist es für mich, das eine Menge, wo alle Vektoren orthogonal aufeinander stehen linear unabhängig sind. Aufgabe: Sei V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt (·|·) : V × V → R. Sei M ⊆ V\{0} eine Menge von paarweise orthogonalen Vektoren (d. h. es gilt (b|b') = 0 für beliebige b, b' ∈ M mit b != b'). Beweisen Sie, dass M dann linear unabhängig ist. (Hinweis: Diese Aussage ist implizit in Satz 3.4.14 enthalten. Sie dürfen diesen Satz für die Lösung dieser Aufgabe nicht verwenden.) Satz 3.4.14 (Darm ja nicht verwendet werden): Jeder R-Vektorraum mit Skalarprodukt hat eine Orthonormalbasis und jede Menge von normierten und paarweise orthogonalen Vektoren lässt sich zu einer Orthonormalbasis ergänzen. Vielen dank schon mal in voraus :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, sei . und mit . Betrachte man für Gruß pwm |
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Hallo, sei . und mit . Betrachte man für Gruß pwm |
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Hey, danke für deine Antwort. Die Idee, das Problem über die Linear Kombination zu lösen ist mir auch schon gekommen; Wenn nur eine triviale LK möglich ist (alle S_i = 0) sind die Vektoren Linear unabhängig. Leider hatte ich die aber schon verworfen da ich auch hier nicht weiter kam. Die Frage ist in wie fern mir das Skalarprodukt von V und B_k mir hier Weiterhilft. Leider kann ich ja nur die Axiome annehmen und kein konkret Definiertes. Ich habe leider auch keinen Satz oder so in meinem Skript gefunden welches mich an der Stelle weiterbringt. |
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Hallo, "Leider kann ich ja nur die Axiome annehmen" ist doch eine Linearkombination, genau darüber sagen die Axiome eines Skalarprodukts doch etwas aus. Oder was sind bei Euch die Axiome für ein Skalarprodukt? Gruß pwm |
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Die Drei Axiome über das Skalarprodukt. Es sei ein R-Vektorraum. Eine Abbildung (·|·) ×V →R heißt Skalarprodukt, falls (SP1) ∀x ∈ ≥ 0 und(x|x) ⇐⇒ . (Definitheit) (SP2) ∀x,y ∈ . (Symmetrie) (SP3) ∀x,y,z ∈ ∀α,β ∈R : (αx βy|z) = α(x|z) β(y|z). Meine Idee war es einfach mal einzusetzen. Dies hatte mich dann aber nicht wirklich weitergebracht. Nachdem ich SP3 und für beliebige ∈ mit angewandt habe ich auf: ∑s_i Dies hilft mir aber irgendwie immer noch nicht weiter Grüße Markus PS: Vielen dank für die Hilfe |
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Hallo wenn du Summe mit multiplizierst sind alle ausser also folgt für alle Gruß ledum |
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