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L. u. von Menge von paarweise orthogonalen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Lineare Unabhängigkeit

 
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WolverinDEV

WolverinDEV aktiv_icon

09:44 Uhr, 03.12.2019

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Hallo zusammen,
Ich habe eine Problem bei meinen Mathe-Übungen.
Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter bzw. habe keinen Rechnerischen Ansatz.
Logisch ist es für mich, das eine Menge, wo alle Vektoren orthogonal aufeinander stehen linear unabhängig sind.

Aufgabe:
Sei V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt (·|·) : V × V → R. Sei M ⊆ V\{0} eine Menge von paarweise orthogonalen Vektoren (d. h. es gilt (b|b') = 0 für beliebige b, b' ∈ M mit b != b'). Beweisen Sie, dass M dann linear unabhängig ist.

(Hinweis: Diese Aussage ist implizit in Satz 3.4.14 enthalten. Sie dürfen diesen Satz für die
Lösung dieser Aufgabe nicht verwenden.)

Satz 3.4.14 (Darm ja nicht verwendet werden):
Jeder R-Vektorraum mit Skalarprodukt hat eine Orthonormalbasis
und jede Menge von normierten und paarweise orthogonalen Vektoren lässt sich
zu einer Orthonormalbasis ergänzen.

Vielen dank schon mal in voraus :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

13:33 Uhr, 03.12.2019

Antworten
Hallo,

sei b1,... bnM und si mit v:=isibi=0.

Betrachte man (v|bk) für k=1,2,3..,.n

Gruß pwm



Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

13:33 Uhr, 03.12.2019

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Hallo,

sei b1,... bnM und si mit v:=isibi=0.

Betrachte man (v|bk) für k=1,2,3..,.n

Gruß pwm



WolverinDEV

WolverinDEV aktiv_icon

09:20 Uhr, 04.12.2019

Antworten
Hey,
danke für deine Antwort.

Die Idee, das Problem über die Linear Kombination zu lösen ist mir auch schon gekommen; Wenn nur eine triviale LK möglich ist (alle S_i = 0) sind die Vektoren Linear unabhängig. Leider hatte ich die aber schon verworfen da ich auch hier nicht weiter kam.


Die Frage ist in wie fern mir das Skalarprodukt von V und B_k mir hier Weiterhilft.
Leider kann ich ja nur die Axiome annehmen und kein konkret Definiertes.
Ich habe leider auch keinen Satz oder so in meinem Skript gefunden welches mich an der Stelle weiterbringt.
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

11:21 Uhr, 04.12.2019

Antworten
Hallo,

"Leider kann ich ja nur die Axiome annehmen"

v ist doch eine Linearkombination, genau darüber sagen die Axiome eines Skalarprodukts doch etwas aus. Oder was sind bei Euch die Axiome für ein Skalarprodukt?

Gruß pwm
WolverinDEV

WolverinDEV aktiv_icon

18:11 Uhr, 09.12.2019

Antworten
Die Drei Axiome über das Skalarprodukt.
Es sei V ein R-Vektorraum. Eine Abbildung (·|·) :V ×V →R heißt Skalarprodukt, falls
(SP1) ∀x ∈ V:(x|x) ≥ 0 und(x|x) =0 ⇐⇒ x=0. (Definitheit)
(SP2) ∀x,y ∈ V:(x|y)=(y|x). (Symmetrie)
(SP3) ∀x,y,z ∈ V ∀α,β ∈R : (αx + βy|z) = α(x|z) + β(y|z).

Meine Idee war es einfach mal v(v|bk) einzusetzen.
Dies hatte mich dann aber nicht wirklich weitergebracht.
Nachdem ich SP3 und ((b|b')=0 für beliebige b,b'M mit bb')) angewandt habe ich auf:
∑s_i (bi|bi)=(v|bk)
Dies hilft mir aber irgendwie immer noch nicht weiter :

Grüße Markus
PS: Vielen dank für die Hilfe
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

16:05 Uhr, 10.12.2019

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Hallo
wenn du Summe sibi mit bk multiplizierst sind alle bibk=0 ausser bkbk also folgt sibi=0|bksk=0 für alle k
Gruß ledum

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