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LGS 2 Gleichungen 3 unbekannte

Schüler Gesamtschule, 13. Klassenstufe

Tags: LGS

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13:29 Uhr, 20.06.2009

Hi, irgendwie steh ich grad voll aufm Schlauch und kriegs nich gebacken das LGS zu lösen weil ich dann immer noch ne Gleichung mit zwei unbekannten habe.

$c)$ Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems.
I $: x 1 + x 2 + 2 x 3 = 4$
II: $3 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 6$

Hab auch schon versucht mit dem Taschenrechner wenigstens auf die Lösung zu kommen aber der braucht für 3 unbekannte auch 3 Gleichungen um es zu lösen.
Kann mir da jemand helfen? Danke

anonymous

15:08 Uhr, 20.06.2009

Hey,

stell doch mal eine Matrix auf und löse nach Gauss.

mfg

maxsymca

16:06 Uhr, 20.06.2009

Wenn man Dein Problem geometrisch betrachtet, dann hast Du zwei Ebenen die sich in einer Gerade schneiden und diese Gerade ist die Lösung Deines Gleichungssystems.

Du kannst durch Einsetzen
$x 1$ und $x 2$ ausrechnen wobei $x 3$ erhalten bleibt, $d . h$ . $x 3$ ist eine unbestimmte Variable, die den ganzen Definitionsbereich durchläuft: Du kannst also gewisse x3-Werte vorgeben, damit die entsprechenden $x 1$ und $x 2$ Koordinaten berechnen...

Gruß HW

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16:40 Uhr, 20.06.2009

Mit dem Gausschen verfahren komme ich auch nich wirklich weiter

Bei mir steht dann:
$(112 | 4)$
$(121 | 6)$

welche muss man dann eliminieren? beim $3 x 3$ weiß ich dass man dann in III $x 1$ und $x 2$ wegkriegen muss und in II $x 1$ aber hier keine Ahnung..

auf dem anderen weg hab ich jetz erstma die erste Gleichung nach $x 1$ aufgelößt also
$x 1 = - 2 x 3 - x 2 + 4$
das dann in II:
$3 (- 2 x 3 - x 2 + 4) + 2 x 2 + x 3 = 6$
$- 6 x 3 - 3 x 2 + 12 + 2 x 2 + x 3 = 6 | - 12$
$- x 2 - 5 x 3 = - 6$
dass dann nach $x 2$ aufgelöst
$- x 2 - 5 x 3 = - 6 | + 5 x 3$
$- x 2 = 5 x 3 - 6 | \cdot - 1$
$x 2 = - 5 x 3 + 6$
wenn ich dass wieder in bei $x 1 = . .$ . einsetze kommt raus
$x 1 = - 2 x 3 - (- 5 x 3 + 6)$
$x 1 = - 2 x 3 + 5 x 3 + 6$
$x 1 = 3 x 3 + 6$

also hab ich dann
$x 1 = 3 x 3 + 6$
$x 2 = - 5 x 3 + 6$

und jetz könnte ich $z . B$ . sagen $x 3 = 1$ und dann wär $x 2 = - 5 \cdot 1 + 6 = 1$ und $x 1 = 3 \cdot 1 + 6 = 9$

$x 1 = 9$
$x 2 = 1$
$x 3 = 1$

Ist das dann so richtig?

maxsymca

16:52 Uhr, 20.06.2009

Wie interpretierst Du Deine Lösung, wenn Du meine Antwort GELESEN hast.
Ach ja, Rechenfehler beim letzten $x 1$

Gruß HW

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17:14 Uhr, 20.06.2009

Gelesen schon aber nicht wirklich verstanden. also das man sich die gleichungen auch als Ebenen vorstellen kann die dann eine schnittgerade haben verstehe ich aber was das mit der lösung das gleichungssystems zu tun hat nich so wirklich. soll man dann einfach nur die schnittgerade bilden??

Und den satz:
"d.h. $x 3$ ist eine unbestimmte Variable, die den ganzen Definitionsbereich durchläuft"
verstehe ich auch nich.

deswegen hab ich mich auf den Teil beschränkt den ich geglaubt hab zu verstehen $\land \land$

"Du kannst durch Einsetzen
$x 1$ und $x 2$ ausrechnen wobei $x 3$ erhalten bleibt, $[$ ...] Du kannst also gewisse x3-Werte vorgeben, damit die entsprechenden $x 1$ und $x 2$ Koordinaten berechnen..."

Kannst du es vielleicht ochmal anders formulieren?

anonymous

17:24 Uhr, 20.06.2009

$x = x 1$
$y = x 2$
$z = x 3$

I: $1 x + 1 y + 2 z = 4$
II: $3 x + 2 y + 1 z = 6$

Matrix

$1 | 1 | 2 | | 4$
$3 | 2 | 1 | | 6$

Jetzt wollen wir eine Variable eliminieren. $1 u$ . 3 haben wir für $x$ .
Also nehmen wir I ⋅3

→3|3|6||12 I-II
→3|2|1||6

→0|1|5||6I⋅2
→3|2|1||6

Nehmen wir nun das $y$ aus dem Spiel. Deswegen I ⋅2

→0|2|10||12
→3|2|1||6 II-I

→0|2|10||12 Diese Gleichung teilen wir duch 2 um eine 1 bei $y$ zu erhalten.
→0|0|-9||-6 Diese Gleichung teilen wir duch $(- 9)$

→0|1|5||6
→0|0|1||2/3 → $z = \frac{2}{3}$ Dieses Ergebnis setzt du nun in $0 x 1 y 5 z = 6$ ein erhälst somit $y = \frac{8}{3}$

$z$ und $y$ werden in beide Ursprungsgleichungen eingesetzt →x=0

mfg

maxsymca

17:25 Uhr, 20.06.2009

Du bekommst auf dem richtigen Weg
$x 1 = 3 \cdot x 3 - 2$
$x 2 = 6 - 5 \cdot x 3$
$x 3$ € IR
heraus. Hier bist DU fertig! Über $x 3$ kannst nix bestimmtes sagen, weil DU nur 2 Gleichungen, aber 3 Unbekannte hast. $x 3$ bleibt unbestimmt.
Wenn DU Dir was vorstellen willst, dann Du kannst $x 1, x 2, x 3$ als Koordinaten im Raum interpretieren und Dein Ergebnis beschreibt eine Gerade im Raum - das sind unendlich viele Punkte - nähmlich für jedes willkürlich festgelegte $x 3$ kannst Du die dazupassenden $x 1$ und $x 2$ Koordinaten berechnen - wenn man das macht und die Punktemenge aufzeichnet, dann siehst DU eine Gerade im Raum.
Wenn Ihr das nocht nicht gemacht habt, dann kommen diese Betrachtungen in Analytischer Geometrie auf Dich zu. Das würde dann etwa so aussehen...

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